Ejercicio 25 - P8/V1 · Matemàtiques I UPF 2020

a. Determineu els òptims locals de $f$ i els seus intervals de creixement i decreixement en funció dels valors de $k$.

Solución: La derivada primera és $f'(x) = 2x + \frac{2k}{x} = \frac{2(x^2+k)}{x}$ per a tot $x \neq 0$. Si $k=0$, decreixent a $(-\infty,0)$, creixent a $(0,\infty)$ i mínim a $x=0$. Si $k<0$, punts crítics $x=\pm\sqrt{-k}$, decreixent a $(-\infty,-\sqrt{-k})\cup(0,\sqrt{-k})$, creixent a $(-\sqrt{-k},0)\cup(\sqrt{-k},\infty)$, mínims a $x=\pm\sqrt{-k}$. Si $k>0$, decreixent a $(-\infty,0)$, creixent a $(0,\infty)$, sense òptims.

b. Indiqueu quins d'aquests extrems locals són també òptims globals.

Solución: Els mínims locals trobats per a $k \le 0$ són també mínims globals.

c. Calculeu el recorregut o imatge de la funció $f(x)$ quan $k = 0$.

Solución: $[0, \infty)$

c. Calculeu el recorregut o imatge de la funció $f(x)$ quan $k > 0$.

Solución: $\mathbb{R}$