Ejercicio 27 - P8/V3 · Matemàtiques I UPF 2020

a. Determineu els òptims locals i els intervals de creixement i decreixement en funció de $k$.

Solución: La derivada és $f'(x) = \frac{2(x^2+3k)}{x}$. • Si $k = 0$: mínim local a $x = 0$, decreixent a $(-\infty, 0)$ i creixent a $(0, \infty)$. • Si $k < 0$: mínims relatius a $x = \pm\sqrt{-3k}$; és decreixent en $(-\infty, -\sqrt{-3k}) \cup (0, \sqrt{-3k})$ i creixent en $(-\sqrt{-3k}, 0) \cup (\sqrt{-3k}, \infty)$. • Si $k > 0$: no hi ha òptims.

b. Indiqueu quins d'aquests extrems locals són globals.

Solución: Tots els mínims locals constitueixen mínims absoluts.

c. Doneu el recorregut de la funció en el cas que $k \ge 0$.

Solución: Per a $k = 0$, $R_f = [0, \infty)$; per a $k > 0$, $R_f = \mathbb{R}$.