Ejercicio 7 - P2/V3 · Matemàtiques I UPF 2020

a. Dibuixeu un esbós de les gràfiques indicant l'efecte del paràmetre k sobre f(x).

Solución: Esbós amb la paràbola $f(x) = (x-1)^2 + k$, amb vèrtex a $(1, k)$ i branques cap amunt, i la recta $g(x) = 2x - 1$, que passa per $(0, -1)$ i té pendent 2.

a. Indicant l'efecte del paràmetre k sobre f(x)

Solución: f(x) és una paràbola que es mou verticalment en variar k / translació vertical

b. Recorregut de f(x)

Solución: $[k, +\infty)$

b. Recorregut de g(x)

Solución: $(-\infty, +\infty)$ / $\mathbb{R}$

c. Resoleu la desigualtat f(x) >= g(x) en funció del valor de k in R.

Solución: Plantegem $x^2 - 4x + (2 + k) \ge 0$: - Si $k = 2$, la solució és tot $\mathbb{R}$. - Si $k > 2$, la paràbola no talla la recta i queda sempre per sobre: la solució és $\mathbb{R}$. - Si $k < 2$, el conjunt solució és $(-\infty, 2 - \sqrt{2 - k}] \cup [2 + \sqrt{2 - k}, +\infty)$.