Teil A3 - Aufgabe d · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2021

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$, die wie folgt definiert sind:$$\begin{aligned}f(x) &= 2x^3 + 8x, & x \in \mathbb{R}, \\g(x) &= 2x^3 - 8x, & x \in \mathbb{R}, \\h(x) &= 2x^3 + 8x^2, & x \in \mathbb{R}.\end{aligned}$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

Betrachtet werden der Punkt $P(1|5|-4)$ sowie die Ebene $E$ mit der Gleichung

$$E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -12 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix},\quad s, t \in \mathbb{R}.$$

(1)

Weisen Sie nach, dass der Punkt $P$ auf der Ebene $E$ liegt. [2 Punkte]

(2)

Für jedes $a \in \mathbb{R}$ wird eine Gerade $g_a$ durch folgende Gleichung beschrieben:

$$g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} a \\ -1 \\ 0{,}5 \end{pmatrix},\quad r \in \mathbb{R}.$$

Bestimmen Sie den Parameterwert $a$ so, dass der Richtungsvektor von $g_a$ zu den beiden Richtungsvektoren der Ebene orthogonal ist. [2 Punkte]

$a =$

(3)

Begründen Sie, dass die Gerade $g_{0{,}5}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ -1 \\ 0{,}5 \end{pmatrix},\ r \in \mathbb{R}$ vollständig in der Ebene $E$ liegt. [1 Punkt]