Teil A2 - Aufgabe c · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2021

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$, die wie folgt definiert sind:

$$f(x) = 2x^3 + 8x,\quad x \in \mathbb{R},$$$$g(x) = 2x^3 - 8x,\quad x \in \mathbb{R},$$$$h(x) = 2x^3 + 8x^2,\quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

c) Zum Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades sind diese Angaben bekannt:

(i) An der Stelle $x = 2$ befindet sich ein lokales Extremum.

(ii) $W(0\mid 4)$ ist ein Wendepunkt des Graphen.

(iii) Die Funktion hat bei $x = 4$ eine Nullstelle.

(1)

Zugrunde gelegt wird dieser Ansatz:

$$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, \quad f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \quad \text{und} \quad f''(x) = 6ax + 2b.$$

Den Funktionsterm von $f$ erhält man über das folgende Gleichungssystem:

$\begin{aligned}

d &= 4 \\

64a + 16b + 4c + d &= 0 \\

12a + 4b + c &= 0 \\

2b &= 0

\end{aligned}$

Begründen Sie unter Verwendung der Angaben (i), (ii) bzw. (iii), wie die zweite und die dritte Gleichung des Gleichungssystems zustande kommen.

(2)

Bestimmen Sie die Lösungen des vorliegenden Gleichungssystems.