Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2021

Aufgabenstellung:

Der größte Saal eines Kinozentrums bietet mehr als 500 Sitzplätze und wird vereinfachend als Quader $ABCDEFGH$ dargestellt. In Abbildung 1 sieht man diesen Quader in einem kartesischen Koordinatensystem; dabei gilt:

$A(0|0|0)$, $B(20|0|0)$, $D(0|23|0)$, $E(0|0|9)$, $G(20|23|9)$, $H(0|23|9)$, $J(20|5|0)$, $K(20|23|6)$, $L(0|23|6)$.

Eine Längeneinheit steht in diesem Koordinatensystem für einen Meter. Die Leinwand des Kinos ist an der Wandfläche $AEFB$ angebracht.

a)

Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $F$ besitzt. [1 Punkt]

b)

Die Punkte $I$, $J$, $K$ und $L$ befinden sich in einer gemeinsamen Ebene $E_{JKL}$, die die Position der Kinositze vereinfacht modelliert.

(1) Bestimmen Sie für die Ebene $E_{JKL}$ eine Gleichung in Parameterform. [2 Punkte]

c)

Für eine Lasershow gibt es im Kinosaal zwei Projektoren, die im Modell den Punkten $G$ und $H$ entsprechen.

Ausgehend vom Punkt $H$ werden Laserstrahlen in Richtung der Vektoren $\vec{v}_a = \begin{pmatrix} a \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}, a \ge 0$, ausgesendet.

(1) Zeigen Sie, dass alle diese Laserstrahlen parallel zur Ebene $E_{JKL}$ liegen. [2 Punkte]

(3) Für $a = 1$ folgt ein von $H$ ausgehender Laserstrahl der Geraden $$h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 23 \\ 9 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} \text{ mit } t \in \mathbb{R}, t > 0.$$

Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geraden $h$ mit der $x_1x_2$-Ebene und interpretieren Sie dessen Lage im Sachzusammenhang. [2 + 1 Punkte]