Teil A1 - Aufgabe c · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2021

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$, die wie folgt definiert sind:

$$\begin{aligned} f(x) &= 2x^3 + 8x, \quad x \in \mathbb{R}, \\ g(x) &= 2x^3 - 8x, \quad x \in \mathbb{R}, \\ h(x) &= 2x^3 + 8x^2, \quad x \in \mathbb{R}. \end{aligned}$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

c) Über den Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades liegen folgende Informationen vor:

(i) An der Stelle $x = 2$ befindet sich ein lokales Extremum.

(ii) Der Punkt $W(0|4)$ ist ein Wendepunkt.

(iii) $x = 4$ ist eine Nullstelle.

(1) Es wird der folgende Ansatz verwendet:

$$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, \quad f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \quad \text{und} \quad f''(x) = 6ax + 2b.$$

Die Gleichung der Funktion $f$ wird mit dem folgenden Gleichungssystem bestimmt:

$\begin{aligned}

d &= 4 \\

64a + 16b + 4c + d &= 0 \\

12a + 4b + c &= 0 \\

2b &= 0

\end{aligned}$

(1)

Begründen Sie die zweite und dritte Gleichung des Gleichungssystems mithilfe der Informationen (i), (ii) bzw. (iii).

(2)

Bestimmen Sie die Lösung des Gleichungssystems.

$a =$

$b =$

$c =$

$d =$