Aufgabe B5 · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2021

Wird der Körper sportlich beansprucht, bildet sich in den Muskeln Laktat (Milchsäure). Mit einem Laktattest misst man den Laktatgehalt im Blut und beurteilt so den Trainingszustand eines Sportlers. Beim Laktatstufentest erhöht der Sportler dazu in gleichmäßigen Zeitabständen seine Leistung, z. B. auf einem Fahrrad-Ergometer.

Zur Modellierung des Laktatwertes eines bestimmten Sportlers bei einem Laktatstufentest (im Folgenden kurz als Laktatwert bezeichnet) wird für $0 \leq x \leq 45$ die Funktion $f$ mit

$$f(x) = \frac{1}{100}(-0{,}01x^2 + x - 19)\cdot e^{0{,}11x} + 1{,}3, \quad x \in \mathbb{R}$$

verwendet. Dabei ist $x$ die Zeit in Minuten und $f(x)$ der Laktatwert in mmol/l (Millimol pro Liter). Der Laktatstufentest startet zum Zeitpunkt $x=0$ und dauert 45 Minuten.

Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

a) (1)

Ermitteln Sie, welchen Laktatwert der Sportler zu Beginn und am Ende des Laktatstufentests hat.

a) (2)

Weisen Sie nach: Die 1. Ableitung von $f$ ist $$f'(x) = \frac{1}{100}(-0{,}0011x^2 + 0{,}09x - 1{,}09)\cdot e^{0{,}11x}.$$

a) (3)

Bestimmen Sie rechnerisch, wann der Laktatwert sein Minimum annimmt, und geben Sie diesen minimalen Laktatwert an.

Aus den Laktatwerten lässt sich ermitteln, zu welchem Zeitpunkt beim Laktatstufentest ein Sportler die sogenannte individuelle anaerobe Schwelle (kurz IAS) erreicht. Dann liegt die Leistung vor, die der Sportler über einen längeren Zeitraum höchstens erbringen kann. Zur Ermittlung dieses Zeitpunkts gibt es vielfältige Verfahren.

Zwei Verfahren werden im Folgenden näher betrachtet. Dabei bezeichnen $S(0|f(0))$ und $E(45|f(45))$ die zum Start und Ende des Laktatstufentests gehörenden Punkte des Graphen von $f$.

Bei Verfahren A wird zunächst eine Gerade $g$ durch die Punkte $S$ und $E$ gezeichnet. Anschließend wird eine Tangente an den Graphen von $f$ gelegt, die parallel zu $g$ verläuft. Als Zeitpunkt, zu dem die IAS erreicht wird, ergibt sich bei diesem Verfahren der $x$-Wert des Berührpunkts zwischen dem Graphen von $f$ und dieser Tangente (vgl. Abbildung 2).

b) (1)

Ermitteln Sie rechnerisch eine Funktionsgleichung der Geraden $g$.

[Kontrolllösung: $g: y = 0{,}1846x + 1{,}11$.]

b) (2)

Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt die IAS nach Verfahren A erreicht wird.

Bei Verfahren B wird jeweils in $S$ und in $E$ eine Tangente an den Graphen von $f$ gelegt. Als Zeitpunkt, zu dem die IAS erreicht wird, ergibt sich bei diesem Verfahren der $x$-Wert desjenigen Punktes $K$ auf dem Graphen von $f$, welcher den kürzesten Abstand zum Schnittpunkt der beiden Tangenten hat (vgl. Abbildung 3).

Die Gleichung der Tangente $t_S$ im Punkt $S$ kann ohne Nachweis verwendet werden. Es gilt: $t_S: y = -0{,}0109x + 1{,}11$.

c) (1)

Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente im Punkt $E$ und bestimmen Sie den Schnittpunkt $T$ beider Tangenten, gerundet auf zwei Nachkommastellen.

[Gerundete Kontrolllösung mit einer Nachkommastelle: $T(36{,}6|0{,}7)$]

c) (2)

Nach diesem Verfahren wird die IAS nach 35,64 Minuten erreicht. Ermitteln Sie die Entfernung zwischen dem zugehörigen Punkt $K$ und $T$.