Teil A1 - Aufgabe e · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2021

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$, die wie folgt definiert sind:

$$\begin{aligned} f(x) &= 2x^3 + 8x, \quad x \in \mathbb{R}, \\ g(x) &= 2x^3 - 8x, \quad x \in \mathbb{R}, \\ h(x) &= 2x^3 + 8x^2, \quad x \in \mathbb{R}. \end{aligned}$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

e) Gegeben sind der Punkt $P(1|5|-4)$ und die Ebene $E$ mit der Gleichung

$$E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -12 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}, \quad s, t \in \mathbb{R}.$$

(1)

Weisen Sie nach, dass der Punkt $P$ in der Ebene $E$ liegt.

(2)

Für $a \in \mathbb{R}$ ist eine Gleichung der Geraden $g_a$ gegeben durch

$$g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} a \\ -1 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}, \quad r \in \mathbb{R}.$$

Bestimmen Sie den Wert des Parameters $a$ so, dass der Richtungsvektor der Geraden $g_a$ senkrecht zu beiden Richtungsvektoren der Ebene verläuft.

(3)

Begründen Sie, dass die Gerade

$$g_{0{,}5}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ -1 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}, \quad r \in \mathbb{R}$$

in der Ebene $E$ verläuft.