Aufgabe B3 - Längen und Winkel · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2021

Aufgabenstellung:

Der größte Saal eines Kinozentrums bietet mehr als 500 Sitzplätze und wird vereinfachend als Quader $ABCDEFGH$ dargestellt. In Abbildung 1 sieht man diesen Quader in einem kartesischen Koordinatensystem; dabei gilt:

$A(0|0|0)$, $B(20|0|0)$, $D(0|23|0)$, $E(0|0|9)$, $G(20|23|9)$, $H(0|23|9)$, $J(20|5|0)$, $K(20|23|6)$, $L(0|23|6)$.

Eine Längeneinheit steht in diesem Koordinatensystem für einen Meter. Die Leinwand des Kinos ist an der Wandfläche $AEFB$ angebracht.

b) (2)

Berechnen Sie, wie lang die Kante $\overline{JK}$ ist.

c) (2)

Ausgehend vom Punkt $H$ werden Laserstrahlen in Richtung der Vektoren $\vec{v}_a = \begin{pmatrix} a \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}, a \ge 0$, ausgesendet.

Bestimmen Sie rechnerisch denjenigen Wert von $a$, für den der Laserstrahl mit der Kante $\overline{HG}$ einen Winkel von $60^\circ$ einschließt.

d) (1)

Vom Punkt $G$ aus verläuft ein Laserstrahl entlang der Geraden

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 23 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} \text{ mit } s \in \mathbb{R}, s > 0.$$

Der von $H$ in Richtung $\vec{v}_a$ verlaufende Laserstrahl wird so eingestellt, dass $\vec{v}_a$ senkrecht zur Geraden $g$ verläuft.

Bestimmen Sie rechnerisch den zugehörigen Wert von $a$.

d) (2)

Prüfen Sie rechnerisch, ob die beiden zueinander senkrechten Laserstrahlen sich im Inneren des Kinosaals schneiden.

$S($

$|$

$|$

$)$

Ja

Nein