Teil A3 - Aufgabe c · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2021

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$, die wie folgt definiert sind:$$\begin{aligned}f(x) &= 2x^3 + 8x, & x \in \mathbb{R}, \\g(x) &= 2x^3 - 8x, & x \in \mathbb{R}, \\h(x) &= 2x^3 + 8x^2, & x \in \mathbb{R}.\end{aligned}$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

c)

Zum Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades sind diese Angaben bekannt:

(i) An der Stelle $x = 2$ befindet sich ein lokales Extremum.

(ii) Der Punkt $W(0 \mid 4)$ ist ein Wendepunkt.

(iii) $x = 4$ ist eine Nullstelle.

(1)

Man verwendet diesen Ansatz:

$$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, \quad f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \quad \text{und} \quad f''(x) = 6ax + 2b.$$

Zur Bestimmung der Gleichung der Funktion $f$ dient das folgende Gleichungssystem:

$$\begin{aligned} d &= 4 \\ 64a + 16b + 4c + d &= 0 \\ 12a + 4b + c &= 0 \\ 2b &= 0 \end{aligned}$$

Begründen Sie mithilfe der Angaben (i), (ii) bzw. (iii), wie die zweite und die dritte Gleichung des Gleichungssystems zustande kommen.

(2)

Bestimmen Sie die Lösung des Gleichungssystems.

$a =$

$b =$

$c =$

$d =$