Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2021

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus zehntausenden Arbeiterinnen, mehreren hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Allein die Königin legt Eier, aus denen neue Bienen hervorgehen.

Ein bestimmtes Bienenvolk wurde im Jahr 2019 über den Jahresverlauf genau beobachtet, anschließend wurde dessen Entwicklung modelliert. Weil fast alle Eier zu Arbeiterinnen werden, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend heißen die Arbeiterinnen „Bienen".

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Die Zunahme der Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen wird für $0 \leq t \leq 232$ durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei entspricht $t = 0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t = 1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ gibt die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ an, und zwar in „Bienen pro Tag". Bienen, die sterben, bleiben zunächst außer Betracht.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$.

In der gesamten Aufgabe müssen keine Datumsangaben umgerechnet werden!

a)

(1)

Geben Sie an, wie groß die Zuwachsrate am Ende des 22. April ($t=50$) ist.

Bienen/Tag

(2)

Ermitteln Sie, zu welchen Zeitpunkten die Zuwachsrate am stärksten ansteigt bzw. sinkt.

(3)

Bestimmen Sie durch Rechnung die Koordinaten des absoluten Hochpunktes des Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$ und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang.

(4)

Das Integral $\int_{9}^{10} f(t)\,dt$ beschreibt, wie viele Bienen am 13. März schlüpfen. [Eine Begründung ist nicht erforderlich.] Ermitteln Sie diese Anzahl rechnerisch.

(5)

Bestimmen Sie, wie viele Bienen im Durchschnitt pro Tag schlüpfen, und zwar vom Beginn des 4. März ($t=0$) bis zum Ende des 21. Oktober ($t=232$).

b)

Wird ein Bienenvolk zu groß oder hat es zu wenig Platz für sein Nest, so teilt es sich auf und sucht nach neuen Nistplätzen – die Bienen schwärmen. Ein Imker verwendet zwei Ansätze: Bei Ansatz A geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn die Zuwachsrate mehr als 1300 Bienen pro Tag beträgt. Bei Ansatz B geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn in den nächsten 21 Tagen mindestens 30 000 Bienen schlüpfen werden.

(1)

Ermitteln Sie für Ansatz A den Zeitraum, in dem die Gefahr besteht, dass die Bienen schwärmen.

(2)

Die Gleichung $\int_{t}^{t+21} f(x)\,dx = 30000$ hat im Beobachtungszeitraum die Lösungen $t_1 \approx 47$ und $t_2 \approx 104$. Für $47 \le t \le 104$ gilt zusätzlich $\int_{t}^{t+21} f(x)\,dx \ge 30000$. Erläutern Sie die Bedeutung des Integrals im Sachzusammenhang. Interpretieren Sie die gegebenen Informationen im Kontext der Teilaufgabe b).

c)

Die Lebenszeit einer Biene nach dem Schlüpfen beträgt im Frühjahr und Sommer wegen ihrer hohen Arbeitsbelastung durchschnittlich nur ca. 35 Tage ("Sommerbienen"). Diese Lebenserwartung gilt für fast alle Bienen, die vor dem 1. September ($t \le 181$) schlüpfen. Am Ende des 5. Oktober ($t=216$) sind die meisten Sommerbienen demnach gestorben. Die Sterberate der Sommerbienen wird für $35 \le t \le 216$ mit der Funktion $g$ mit $$g(t)=\frac{1}{800000}t^4-\frac{1}{30000}t^3-\frac{5}{18}t^2+59{,}25\,t-1733,\quad t \in \mathbb{R}$$ modelliert.

(1)

Begründen Sie, dass sich für $35 \le t \le 216$ die Änderungsrate der Bienenzahl (in der Einheit "Bienen pro Tag") durch die Funktion $d$ mit $d(t)=f(t)-g(t)$ beschreiben lässt.

(2)

Geben Sie mithilfe des Graphen von $d$ in Abbildung 2 näherungsweise an, wann das Bienenvolk seine maximale Bienenanzahl erreicht, und begründen Sie Ihre Angabe.