Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2021

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ ist durch folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x) = -4x \cdot e^{-2x} + 0{,}4 \text{ mit } x \in \mathbb{R}.$$

Den Graphen von $f$ zeigt Abbildung 1.

Im Weiteren können Sie ohne Beweis folgende Aussage nutzen:

Die erste Ableitung von $f$ lautet: $f'(x) = -4e^{-2x} \cdot (1 - 2x)$.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Bestimmen Sie rechnerisch, welche Koordinaten und welche Art die lokalen Extrempunkte des Graphen von $f$ haben.

a) (2)

Die Funktion $f$ besitzt im Intervall $[0,5; 2]$ eine Nullstelle.

Zeigen Sie, dass die Steigung des Graphen von $f$ an dieser Nullstelle nicht am größten ist.

Teilaufgabe c)

Abbildung 3 zeigt neben dem Graphen der Funktion $f$ auch die Tangente $g$, die den Graphen von $f$ im Punkt $P(2 \mid f(2))$ berührt.

c) (1)

Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente $g$. Geben Sie alle Zahlen in dieser Gleichung auf vier Nachkommastellen gerundet an.

[Zur Kontrolle: $y = 0,22x - 0,186$ ist eine Gleichung von $g$ mit auf weniger Nachkommastellen gerundeten Zahlen.]

Außer dem Berührpunkt $P(2 \mid f(2))$ besitzen der Graph von $f$ und die Tangente $g$ genau einen weiteren gemeinsamen Punkt $S(x_S \mid f(x_S))$.

c) (2)(i)

Zwischen dem Graphen von $f$ und der Tangente $g$ liegt eine eingeschlossene Fläche.

Bestimmen Sie deren Flächeninhalt.

c) (2)(ii)

Bestimmen Sie, welcher prozentuale Anteil dieser Fläche oberhalb der $x$-Achse liegt.

%

Wird der Graph der Funktion $f$ um eine passende Strecke nach oben verschoben, erhält man den Graphen einer Funktion $k$, den $g$ ebenfalls tangiert. Abbildung 4 zeigt die Graphen von $f$ und $k$ zusammen mit der gemeinsamen Tangente $g$.

c) (3)(i)

An den Graphen von $f$ lässt sich eine Tangente $h$ legen, die parallel zu $g$ ist.

Zeichnen Sie diese Tangente in Abbildung 4 ein.

c) (3)(ii)

Den Berührpunkt von $h$ und dem Graphen von $f$ nennt man $Q$.

Bestimmen Sie die Koordinaten von $Q$, gerundet auf vier Nachkommastellen.

[Zur Kontrolle: Die $x$-Koordinate von $Q$ erfüllt $x_Q \approx 0,59$.]

c) (3)(iii)

Ermitteln Sie die Verschiebung, mit der der Graph von $k$ aus dem Graphen von $f$ entsteht, und geben Sie eine Gleichung der Funktion $k$ an.

[Hinweis: Der Funktionsterm muss nicht vereinfacht werden.]