Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2021

Wenn Muskeln stark beansprucht werden, bildet sich dort Laktat (Milchsäure). Mit einem Laktattest misst man den Laktatgehalt im Blut und beurteilt so die Fitness eines Sportlers. Bei einem Laktatstufentest erhöht der Sportler dafür in gleichmäßigen Zeitabständen seine Leistung, etwa auf einem Fahrrad-Ergometer.

Zur Modellierung des Laktatwertes eines bestimmten Sportlers bei einem Laktatstufentest (im Folgenden kurz als Laktatwert bezeichnet) wird für $0 \leq x \leq 45$ die Funktion $f$ mit

$$f(x) = \frac{1}{100}\left(-0{,}01x^2 + x - 19\right)\cdot e^{0{,}11x} + 1{,}3, \quad x \in \mathbb{R},$$

verwendet. Dabei ist $x$ die Zeit in Minuten und $f(x)$ der Laktatwert in mmol/l (Millimol pro Liter). Der Laktatstufentest startet zum Zeitpunkt $x = 0$ und dauert 45 Minuten.

Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

a)

(1)

Ermitteln Sie den Laktatwert zu Beginn und am Ende des Laktatstufentests. [2 Punkte]

(2)

Bestimmen Sie rechnerisch, zu welchem Zeitpunkt der Laktatwert sein Minimum annimmt. [3 Punkte]

(3)

Ermitteln Sie, wie groß die momentane Zuwachsrate des Laktatwerts 30 Minuten nach Beginn ist. [2 Punkte]

Aus den Laktatwerten lässt sich ermitteln, zu welchem Zeitpunkt beim Laktatstufentest ein Sportler die sogenannte individuelle anaerobe Schwelle (kurz IAS) erreicht. Dann liegt die Leistung vor, die der Sportler über einen längeren Zeitraum höchstens erbringen kann. Zur Ermittlung dieses Zeitpunkts gibt es vielfältige Verfahren.

Zwei Verfahren werden im Folgenden näher betrachtet. Dabei bezeichnen $S(0|f(0))$ und $E(45|f(45))$ die zum Start und Ende des Laktatstufentests gehörenden Punkte des Graphen von $f$.

Bei Verfahren A wird zunächst eine Gerade $g$ durch die Punkte $S$ und $E$ gezeichnet. Anschließend wird eine Tangente an den Graphen von $f$ gelegt, die parallel zu $g$ verläuft. Als Zeitpunkt, zu dem die IAS erreicht wird, ergibt sich bei diesem Verfahren der $x$-Wert des Berührpunkts zwischen dem Graphen von $f$ und dieser Tangente (vgl. Abbildung 2).

b)

(1)

Ermitteln Sie rechnerisch eine Funktionsgleichung der Geraden $g$. [2 Punkte]

[Kontrolllösung: $g: y = 0{,}1846x + 1{,}11$.]

(2)

Ermitteln Sie den Zeitpunkt, an dem nach Verfahren A die IAS erreicht wird. [3 Punkte]

Bei Verfahren B wird jeweils in $S$ und in $E$ eine Tangente an den Graphen von $f$ gelegt. Als Zeitpunkt, zu dem die IAS erreicht wird, ergibt sich bei diesem Verfahren der $x$-Wert desjenigen Punktes auf dem Graphen von $f$, welcher den kürzesten Abstand zum Schnittpunkt der beiden Tangenten hat (vgl. Abbildung 3).

c)

Die Gleichung der Tangente $t_S$ im Punkt $S$ kann ohne Nachweis verwendet werden. Es gilt: $t_S: y = -0{,}0109x + 1{,}11$.

(1)

Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente in $E$ und bestimmen Sie den Schnittpunkt $T$ beider Tangenten, gerundet auf zwei Nachkommastellen. [4 Punkte]

[Gerundete Kontrolllösung mit einer Nachkommastelle: $T(36{,}6|0{,}7)$.]

(2)

Der Sportler schätzt anhand der Abbildung, dass seine IAS nach ungefähr 35 Minuten erreicht ist. Prüfen Sie, ob der Punkt des Graphen von $f$ zum Zeitpunkt 35,5 Minuten näher an $T$ liegt als der Punkt des Graphen von $f$ zu Minute 35. [3 Punkte]