Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2021

Aufgabenstellung:

Der größte Saal eines Kinozentrums bietet mehr als 500 Sitzplätze; er wird vereinfachend als Quader $ABCDEFGH$ dargestellt. Abbildung 1 zeigt diesen Quader in einem kartesischen Koordinatensystem, dabei gilt:

$A(0|0|0)$, $B(20|0|0)$, $D(0|23|0)$, $E(0|0|9)$, $G(20|23|9)$, $H(0|23|9)$, $J(20|5|0)$, $K(20|23|6)$, $L(0|23|6)$.

Eine Längeneinheit des Koordinatensystems steht für einen Meter. Die Leinwand des Kinos ist an der Wandfläche $AEFB$ angebracht.

b)

Die Punkte $I$, $J$, $K$ und $L$ befinden sich in einer gemeinsamen Ebene $E_{JKL}$, die die Position der Kinositze vereinfacht wiedergibt.

Geben Sie einen Stützvektor und zwei linear unabhängige Richtungsvektoren der Ebene $E_{JKL}$ an:

$\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$

Stützvektor: ( | |)

c)

Für eine Lasershow sind im Kinosaal zwei Projektoren installiert, die im Modell den Punkten $G$ und $H$ entsprechen.

Ausgehend von $H$ werden Laserstrahlen in Richtung der Vektoren $\vec{v}_a = \begin{pmatrix} a \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}$, $a \ge 0$, gestrahlt.

Geben Sie die Darstellung von $\vec{v}_a$ als Linearkombination der Spannvektoren $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ an: $\vec{v}_a = c_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

$c_1 =$ und $c_2 =$

Schnittpunkt $P_{x_1x_2}$: ( | |)

d)

Ein Laserstrahl geht von $G$ aus und verläuft längs der Geraden $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 23 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}$ mit $s \in \mathbb{R}, s > 0$.

Der Laserstrahl von $H$ in Richtung $\vec{v}_a$ wird so justiert, dass $\vec{v}_a$ senkrecht zur Geraden $g$ steht (mit $a = 5$).

Schnittpunkt $S$: $($ $|$ $|$ $)$

Ja

Nein