Aufgabe B2 - Graphen deuten · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2021

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus zehntausenden Arbeiterinnen, einigen hundert Drohnen sowie einer Königin zusammen. Ausschließlich die Königin legt die Eier, aus denen neue Bienen hervorgehen.

Ein bestimmtes Bienenvolk wurde im Jahr 2019 über den Jahresverlauf genau beobachtet, und seine Entwicklung wurde anschließend modelliert. Weil fast alle Eier zu Arbeiterinnen werden, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend nennt man die Arbeiterinnen „Bienen".

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Wie stark die Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen zunimmt, beschreibt für $0 \le t \le 232$ die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei entspricht $t=0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t=1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag". Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$. Abbildung 1

In der gesamten Aufgabe müssen Zeitangaben nicht in Datumsangaben umgerechnet werden!

c) Wegen der hohen Arbeitsbelastung durch Brutpflege, Wachsproduktion und Nahrungssuche leben Bienen nach dem Schlüpfen im Frühjahr und Sommer im Durchschnitt nur etwa 35 Tage („ Sommerbienen “). Dies trifft auf nahezu alle Bienen zu, die vor dem 1. September ($t \le 181$) schlüpfen. Daher sind bis zum Ende des 5. Oktober ($t = 216$) die meisten Sommerbienen gestorben.

Die Sterberate der Sommerbienen (in der Einheit „ Bienen pro Tag “) wird für $35 \le t \le 216$ durch die Funktion $g$ mit

$$g(t) = \frac{1}{800\,000}t^4 - \frac{1}{30\,000}t^3 - \frac{5}{18}t^2 + 59{,}25\,t - 1733, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert.

(1)

Begründen Sie, dass sich für $35 \le t \le 216$ die Änderungsrate der Bienenzahl (in der Einheit „ Bienen pro Tag “) durch die Funktion $d$ mit $d(t) = f(t) - g(t)$ beschreiben lässt. [2 Punkte]

(2)

Geben Sie anhand des Graphen von $d$ in Abbildung 2 näherungsweise den Zeitpunkt an, zu dem das Bienenvolk die größte Bienenanzahl hat, und begründen Sie Ihre Angabe. [4 Punkte]

Tage nach dem 4. März