Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2021

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus zehntausenden Arbeiterinnen, einigen hundert Drohnen sowie einer Königin zusammen. Ausschließlich die Königin legt die Eier, aus denen neue Bienen hervorgehen.

Ein bestimmtes Bienenvolk wurde im Jahr 2019 über den Jahresverlauf genau beobachtet, und seine Entwicklung wurde anschließend modelliert. Weil fast alle Eier zu Arbeiterinnen werden, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend nennt man die Arbeiterinnen „Bienen".

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Wie stark die Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen zunimmt, beschreibt für $0 \le t \le 232$ die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei entspricht $t=0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t=1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag". Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$. Abbildung 1

In der gesamten Aufgabe müssen Zeitangaben nicht in Datumsangaben umgerechnet werden!

a) (1)

Geben Sie an, wie groß die Zuwachsrate am Ende des 22. April $(t=50)$ ist.

a) (2)

Ermitteln Sie, zu welchen Zeitpunkten die Zuwachsrate am stärksten ansteigt bzw. sinkt.

a) (3)

Bestimmen Sie durch Rechnung die Koordinaten des absoluten Hochpunktes des Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$ und interpretieren Sie diese Koordinaten im Sachzusammenhang. [Hinweis: Bei manchen CAS dauert das Lösen einer Gleichung hier etwas länger ($\approx 20s$).]

a) (4)

Das Integral $\displaystyle\int_{9}^{10} f(t)\,dt$ liefert die Zahl der Bienen, die am 13. März schlüpfen. [Eine Begründung wird nicht verlangt.] Ermitteln Sie diese Zahl.

a) (5)

Bestimmen Sie, wie viele Bienen im Durchschnitt pro Tag schlüpfen, und zwar vom Beginn des 4. März $(t=0)$ bis zum Ende des 21. Oktober $(t=232)$.

b) (1)

Nach Ansatz A rechnet der Imker mit einem möglichen Schwärmen der Bienen, sobald die Zuwachsrate über 1300 Bienen pro Tag liegt. Ermitteln Sie für Ansatz A den Zeitraum, in dem ein Schwärmen der Bienen zu befürchten ist.