Aufgabe A1 - Aufgabe e - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2021

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ mit$$f(x) = 2x^3 + 8x, \quad x \in \mathbb{R},$$$$g(x) = 2x^3 - 8x, \quad x \in \mathbb{R},$$$$h(x) = 2x^3 + 8x^2, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

e) Gegeben sind der Punkt $P(1|5|-4)$ und die Ebene $E$ mit der Gleichung

$$E:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -12 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix},\quad s, t \in \mathbb{R}.$$

(1)

Weisen Sie nach, dass der Punkt $P$ in der Ebene $E$ liegt.

(2)

Für $a \in \mathbb{R}$ ist eine Gleichung der Geraden $g_a$ gegeben durch

$$g_a:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} a \\ -1 \\ 0{,}5 \end{pmatrix},\quad r \in \mathbb{R}.$$

Bestimmen Sie den Wert des Parameters $a$ so, dass der Richtungsvektor der Geraden $g_a$ senkrecht zu beiden Richtungsvektoren der Ebene verläuft.

(3)

Begründen Sie, dass die Gerade $g_{0{,}5}:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ -1 \\ 0{,}5 \end{pmatrix},\quad r \in \mathbb{R}$ in der Ebene $E$ verläuft.