Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2021

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ ist durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x) = -4x \cdot e^{-2x} + 0{,}4 \quad \text{mit } x \in \mathbb{R} \text{.}$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

a)

(1) Bestimmen Sie durch Rechnung sowohl die Koordinaten als auch die Art der lokalen Extrempunkte des Graphen von $f$.

(2) Die Funktion $f$ besitzt im Intervall $[0,5; 2]$ die Nullstelle $x_0$.

(i)

Zeigen Sie, dass die Steigung des Graphen von $f$ an dieser Nullstelle nicht am größten ist.

(ii)

Bestimmen Sie eine Stelle $z \neq x_0$, an der der Graph von $f$ dieselbe Steigung aufweist wie an der Stelle $x_0$.

c)

Abbildung 3 zeigt neben dem Graphen der Funktion $f$ auch die Tangente $g$, die den Graphen von $f$ im Punkt $P(2 | f(2))$ berührt.

(1) Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente $g$. Geben Sie alle Zahlen in dieser Gleichung auf vier Nachkommastellen gerundet an.

[Zur Kontrolle: $y = 0,22x - 0,186$ ist eine Gleichung von $g$ mit auf weniger Nachkommastellen gerundeten Zahlen.]

(3) Wird der Graph der Funktion $f$ um eine passende Länge nach oben verschoben, ergibt sich der Graph einer Funktion $k$, den $g$ ebenfalls als Tangente berührt. Abbildung 4 zeigt die Graphen von $f$ und $k$ zusammen mit der gemeinsamen Tangente $g$.

(i)

An den Graphen von $f$ lässt sich eine Tangente $h$ legen, die parallel zu $g$ ist. Zeichnen Sie diese Tangente in Abbildung 4 ein.

(ii)

Den Berührpunkt von $h$ und dem Graphen von $f$ nennt man $Q$. Bestimmen Sie die Koordinaten von $Q$, auf vier Nachkommastellen gerundet.

[Zur Kontrolle: Für die $x$-Koordinate von $Q$ gilt $x_Q \approx 0,59$.]

(iii)

Ermitteln Sie die Verschiebung, durch die der Graph von $k$ aus dem Graphen von $f$ entsteht, und geben Sie eine Gleichung der Funktion $k$ an.

[Hinweis: Der Funktionsterm muss nicht vereinfacht werden.]