Aufgabe A3 - Aufgabe d · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2021

(1) Geben Sie eine Gleichung für die Gerade h an, auf der die Punkte A und B liegen.

Lösung: $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -15 \\ 10 \end{pmatrix}, \quad s \in \mathbb{R}$

(2) Weisen Sie nach, dass A ein Punkt der Geraden g ist. Untersuchen Sie, wie die Geraden g und h zueinander liegen.

Lösung: Punktprobe: $$\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6{,}5 \\ -6{,}5 \\ 9 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ 21 \\ -14 \end{pmatrix} \iff r = 0{,}5.$$ Damit liegt $A$ auf $g$. $$\begin{pmatrix} -7 \\ 21 \\ -14 \end{pmatrix} = s \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -15 \\ 10 \end{pmatrix} \iff s = -\frac{7}{5}.$$ Die Richtungsvektoren sind kollinear und der Punkt $A$ ist ein gemeinsamer Punkt. Daher sind die Geraden $g$ und $h$ identisch.

(3) Geben Sie eine Gleichung einer Geraden an, die g in A schneidet.

Lösung: $l: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -15 \\ 10 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$ (oder ein beliebiger nicht-kollinearer Richtungsvektor)