Aufgabe B4 - Beurteilende Statistik · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2021

In Nordrhein-Westfalen fanden 2018 rund 390000 praktische Führerscheinprüfungen statt. In diesem Jahr betrug der relative Anteil der bestandenen Prüfungen ungefähr 70 %.

b) Die Fahrschulkette will 2022 in Soest eine neue Filiale eröffnen. Die Zentrale fordert hinsichtlich der Ausbildungsqualität, dass im Durchschnitt mindestens $70\,\%$ der praktischen Prüfungen bestanden werden. Für Soest rechnet man damit, dass im Jahr 2022 $200$ praktische Prüfungen stattfinden. Sind davon mindestens $140$ bestanden, geht die Zentrale davon aus, dass auch in Soest dank der Ausbildungsqualität jede Prüfung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $70\,\%$ bestanden wird. Modellhaft wird angenommen, dass die Anzahl $Y$ der bestandenen Prüfungen unter den $200$ erwarteten Prüfungen binomialverteilt ist.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zentrale annimmt, in Soest werde jede Prüfung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $70\,\%$ bestanden, obwohl die tatsächliche Bestehenswahrscheinlichkeit jeder Prüfung nur $65\,\%$ beträgt. [3 Punkte]

(2)

Die Abbildung stellt das Histogramm zu $P_{200;0{,}7}(Y = k)$ dar, also für den Fall $p = 0{,}7$.

Werden in Soest von den $200$ erwarteten praktischen Prüfungen z. B. nur $130$ bestanden, schließt die Zentrale daraus, dass jede Prüfung dort mit einer Wahrscheinlichkeit von weniger als $70\,\%$ bestanden wird.

Erklären Sie anhand des Histogramms, weshalb der Zentrale mit dieser Einschätzung ein Irrtum unterlaufen sein könnte. [3 Punkte]