Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2021

Beim Secret-Sharing wird ein Geheimnis in Teilgeheimnisse zerlegt, die an unterschiedliche Personen verteilt werden, sodass die Verantwortung auf mehrere Schultern verteilt ist. Oft ist es sinnvoll, dass ein geheimer Code, etwa zum Öffnen eines Tresors, keiner einzelnen Person vollständig bekannt ist, sondern nur von mehreren Personen zusammen rekonstruiert werden kann.

Ein Unternehmen kann ein solches Verfahren zum Beispiel geometrisch umsetzen. Dabei ermitteln einige Mitarbeitende, die die erforderlichen Teilgeheimnisse kennen, den geheimen Code, indem sie ihre Teilgeheimnisse in ein Computersystem eingeben, das aus diesen Eingaben geometrische Probleme löst.

Zur Vereinfachung sei im Weiteren stets vorausgesetzt, dass der gesuchte geheime Code aus drei Ziffern besteht.

Teilaufgabe a)

Im Computersystem ist die Gerade $g$ mit $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix},\ t \in \mathbb{R}$ hinterlegt.

Die Punkte $A(0|-3|-1)$, $B(4|2|1)$ und $C(1|-1|-1)$ liegen in einer Ebene $H$. Drei eingeweihte Mitarbeitende kennen jeweils die Koordinaten genau eines dieser Punkte als Teilgeheimnis. Den geheimen Code bilden die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Geraden $g$ mit der Ebene $H$.

(1)

Man gibt die Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $C$ in das System ein.

Berechnen Sie den geheimen Code. [5 Punkte]

(2)

Der Punkt $S$ liegt nicht auf der Geraden durch $A$ und $B$. Eine vierte mitarbeitende Person bekommt den Punkt $D(12|12|5)$ als Teilgeheimnis. Der Punkt $D$ liegt in der Ebene $H$.

Begründen Sie, weshalb das System den geheimen Code auch dann nicht ermitteln kann, wenn die Koordinaten von $A$, $B$ und $D$ eingegeben werden. [2 Punkte]

(3)

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten eines Punktes $E$, der sich von $C$ und $S$ unterscheidet, sodass der geheime Code aus den eingegebenen Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $E$ ermittelt werden kann. [3 Punkte]

Teilaufgabe b)

Gegeben ist für ein $a \in \mathbb{R}$ die Gerade $h_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} -7 \\ 8 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3a \\ -7 \\ a \end{pmatrix},\ s \in \mathbb{R}$. Der geheime Code besteht aus den Koordinaten des Schnittpunktes $S(5|1|3)$ der Geraden $g$ aus a) und der Geraden $h_a$.

(1)

Bestimmen Sie $a \in \mathbb{R}$ so, dass $S$ der Schnittpunkt von $g$ und $h_a$ ist. [2 Punkte]

(2)

Eingeweihte Mitarbeitende sollen als Teilgeheimnis jeweils die Koordinaten eines Punktes erhalten, der auf der Geraden $h_4$ liegt und von $S$ verschieden ist.

Geben Sie die Koordinaten eines Punktes $P$ an, der sich von $(-7|8|-1)$ und $S$ unterscheidet und als Teilgeheimnis geeignet ist. [1 Punkt]