Aufgabe A1 - Aufgabe b · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2021

Thema: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Aus der Prüfung GK · Haupttermin · GTR (2021)

Aufgabenstellung

Betrachtet wird die auf R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x.

b)

Gegeben ist die Funktion ff mit f(x)=(x+2)⋅e−x+4f(x) = (x+2) \cdot e^{-x+4}, x∈Rx \in \mathbb{R}.

Der Graph von ff ist in Abbildung 2 dargestellt.

(1)

Es gibt für die Funktion ff genau eine Extremstelle.

Ermitteln Sie, an welcher Stelle ff ihr Extremum hat.

Hinweis: Die hinreichende Bedingung muss nicht nachgewiesen werden.

x=x =

(2)

Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion von ff in Abbildung 2.

Hinweis: Auf die genauen yy-Werte kommt es dabei nicht an.

Aufgabenstellung: Aufgabe A1 - Aufgabe b · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2021

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

(1) Ermitteln Sie, an welcher Stelle f ihr Extremum hat.

Lösung: -1

(2) Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion von f in Abbildung 2.

Lösung: Der Graph der Ableitungsfunktion f′f' (gestrichelte Kurve): - besitzt eine Nullstelle bei der Extremstelle von ff (x=−1x = -1 mit Vorzeichenwechsel von ++ nach −-), - verläuft für x<−1x < -1 oberhalb der xx-Achse (da ff streng monoton steigend ist), - verläuft für x>−1x > -1 unterhalb der xx-Achse (da ff streng monoton fallend ist) und nähert sich für x→∞x \to \infty von unten asymptotisch der xx-Achse an.

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