Aufgabe B3 - Längen und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2021

Beim Secret-Sharing wird ein Geheimnis in Teilgeheimnisse zerlegt, die an unterschiedliche Personen verteilt werden, sodass die Verantwortung auf mehrere Schultern verteilt ist. Oft ist es sinnvoll, dass ein geheimer Code, etwa zum Öffnen eines Tresors, keiner einzelnen Person vollständig bekannt ist, sondern nur von mehreren Personen zusammen rekonstruiert werden kann.

Ein Unternehmen kann ein solches Verfahren zum Beispiel geometrisch umsetzen. Dabei ermitteln einige Mitarbeitende, die die erforderlichen Teilgeheimnisse kennen, den geheimen Code, indem sie ihre Teilgeheimnisse in ein Computersystem eingeben, das aus diesen Eingaben geometrische Probleme löst.

Zur Vereinfachung sei im Weiteren stets vorausgesetzt, dass der gesuchte geheime Code aus drei Ziffern besteht.

c) Ein weiteres Unternehmen legt als geheimen Code die ersten drei Nachkommastellen der nicht gerundeten Länge der Höhe $h_{\overline{IJ}}$ eines gleichschenkligen Dreiecks $IJK$ mit der Basis $\overline{IJ}$ fest.

Drei eingeweihte Mitarbeitende kennen als Teilgeheimnisse jeweils die Koordinaten eines Eckpunktes des gleichschenkligen Dreiecks $IJK$, und zwar $I(4|3|2)$, $J(8|6|-1)$ und $K(6|5|1)$.

(1)

Zeigen Sie, dass die Punkte $I$, $J$ und $K$ ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{IJ}$ bilden.

(2)

Berechnen Sie den geheimen Code.

(3)

Ein weiterer Mitarbeitender soll die Koordinaten eines von $K$ verschiedenen Punktes $L$ erhalten, der wie $K$ zusammen mit den Punkten $I$ und $J$ ein gleichschenkliges Dreieck $IJL$ mit der Basis $\overline{IJ}$ bildet. Auch aus den Koordinaten von $I$, $J$ und $L$ soll sich in gleicher Weise wie oben beschrieben der in c) (2) berechnete geheime Code ergeben.

Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten eines passenden Punktes $L$.