Aufgabe B5 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2021

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Die Abbildung stellt als Modell den Längsschnitt einer Holzbrücke mit drei Teilen für eine Spielzeugeisenbahn dar. Die Züge können über die Brücke fahren und ebenso unter ihr hindurchfahren.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts kann man durch den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$ beschreiben.

Die Endpunkte dieser Randlinie entsprechen dabei den beiden Tiefpunkten des Graphen von $f$. Im zugrunde gelegten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; eine Längeneinheit steht in der Wirklichkeit für einen Dezimeter.

a)

Begründen Sie, warum die obere Randlinie symmetrisch bezüglich der $y$-Achse verläuft.

e)

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q_a$ mit $q_a(x) = 0{,}8 - a \cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R}, a > 0$ beschrieben werden.

In der Abbildung bezeichnet $s$ die Länge einer der beiden Bodenflächen des mittleren Bauteils. Bestimmen Sie denjenigen Wert von $a$, für den $s = 0{,}1\ \mathrm{dm}$ gilt.

f)

Begründen Sie im Sachzusammenhang, weshalb beliebig große Werte von $a$ für die Beschreibung der unteren Randlinie nicht geeignet sind.