Aufgabe A3 - Aufgabe b · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2021

Thema: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Aus der Prüfung GK · Haupttermin · GTR (2021)

Aufgabenstellung

Betrachtet wird die auf R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x.

b) Gegeben ist die Funktion ff mit f(x)=(x+2)⋅e−x+4, x∈Rf(x) = (x + 2) \cdot e^{-x+4},\ x \in \mathbb{R}.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von ff.

(1)

Die Funktion ff hat genau eine Extremstelle.

Ermitteln Sie diese Stelle für ff.

Hinweis: Die hinreichende Bedingung muss nicht nachgewiesen werden.

(2)

Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion von ff in Abbildung 2.

Hinweis: Auf die Größe der yy-Werte kommt es dabei nicht an.

Aufgabenstellung: Aufgabe A3 - Aufgabe b · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2021

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

(1) Ermitteln Sie die Extremstelle von f.

Lösung: x=−1x = -1

(2) Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion von f in Abbildung 2.

Lösung: Der Graph der Ableitungsfunktion f′f' (gestrichelte Kurve) hat eine Nullstelle an der Extremstelle von ff (x=−1x = -1). Links davon verläuft er im Positiven (da ff streng monoton steigt), schneidet bei x=−1x = -1 die xx-Achse mit Vorzeichenwechsel von ++ nach −-, nimmt im Negativen ein relatives Minimum an und nähert sich für x→∞x \to \infty von unten asymptotisch der xx-Achse.

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