Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2021

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist der Graph der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ dargestellt, die durch folgende Gleichung gegeben ist:

$$f(x) = -\frac{5}{16}x^4 + 5x^3.$$

a) (1)

Zeigen Sie durch Rechnung, dass $(12 \mid 2160)$ ein Hochpunkt des Graphen von $f$ ist und dass die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(0 \mid 0)$ parallel zur $x$-Achse liegt.

a) (2)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden $g$, welche die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ enthält.

$y =$

Zeichnen Sie in die Abbildung eine zu $g$ parallele Gerade ein, die im Bereich $0 \leq x \leq 8$ genau einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen von $f$ besitzt.

a) (3)

Für jede reelle Zahl $b$ mit $0 < b < 16$ bilden die Punkte $O(0 \mid 0)$, $B(b \mid 0)$ und $C(b \mid f(b))$ ein Dreieck $OBC$.

Ermitteln Sie den Wert von $b$, bei dem das Dreieck $OBC$ seinen größten Flächeninhalt hat, und geben Sie diesen Flächeninhalt an.

[Hinweis: Die Randwerte müssen nicht untersucht werden.]