Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2021

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Gleichung $$f(x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{-x}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Teilaufgabe a)

(1)

Begründen Sie, weshalb $x = 1$ die einzige Nullstelle von $f$ darstellt. [1 Punkt]

(2)

Zeigen Sie: $f'(x) = 10 \cdot (2 - x) \cdot e^{-x}$. [2 Punkte]

(3)

Untersuchen Sie die Funktion $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen. [Kontrolllösung: An der Stelle $x = 2$ liegt eine lokale Maximalstelle vor.] [3 Punkte]

(4)

Ermitteln Sie diejenigen $x \in \mathbb{R}$, für die $f(x) < 0{,}1$ gilt. [3 Punkte]

Teilaufgabe b)

Der Punkt $P_u(u \mid f(u))$ liegt beliebig auf dem Graphen von $f$. Mit $N(1 \mid 0)$ und $F_u(u \mid 0)$ bildet $P_u$ das Dreieck $NF_uP_u$.

(1)

Zeichnen Sie das Dreieck $NF_uP_u$ in Abbildung 1 ein, falls $P_u$ der Hochpunkt des Graphen von $f$ ist. [1 Punkt]

(2)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks aus b) (1). [2 Punkte]

(3)

Untersuchen Sie, ob sich $P_u$ auf dem Graphen von $f$ so wählen lässt, dass das Dreieck $NF_uP_u$ den Flächeninhalt $2\text{ FE}$ besitzt. [4 Punkte]

Teilaufgabe c)

Betrachtet wird die Funktion $t$ mit $t(x) = -10 \cdot e^{-3} \cdot x + 50 \cdot e^{-3},\ x \in \mathbb{R}$, und der Wendepunkt $W(3 \mid f(3))$ des Graphen von $f$.

(1)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ im Punkt $W$ den Graphen von $f$ tangiert. [4 Punkte]

(2)

Die Tangente aus c) (1) schneidet beide Koordinatenachsen; diese Schnittpunkte bilden mit dem Ursprung $O(0 \mid 0)$ ein Dreieck.

Berechnen Sie dessen Umfang. [4 Punkte]

(3)

Im Intervall $[1; 5]$ schließen der Graph von $f$, die Tangente aus c) (1) und die x-Achse eine Fläche $F$ ein (siehe Abbildung 2). Bestimmen Sie den Flächeninhalt von $F$. [3 Punkte]

Teilaufgabe d)

Die Gerade mit der Gleichung $y = x$ trägt die Bezeichnung „1. Winkelhalbierende“. Auf dem Graphen von $f$ existiert genau ein Punkt $R$, in dem die Tangente $t_R$ an den Graphen von $f$ parallel zur 1. Winkelhalbierenden verläuft.

(1)

Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung für die Tangente $t_R$. [Mögliche Lösung: Falls man auf vier Stellen nach dem Komma rundet, ergibt sich für die Tangente $t_R$ als Gleichung $y = x - 0{,}3823$.] [4 Punkte]

(2)

Die Gerade $y = -x$ heißt „2. Winkelhalbierende“.

Bestimmen Sie den Punkt, in dem sich die Tangente $t_R$ und die 2. Winkelhalbierende schneiden. [2 Punkte]

(3)

Ermitteln Sie rechnerisch den Abstand der Tangente $t_R$ zur 1. Winkelhalbierenden. [2 Punkte]