Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2021

Der größte Saal eines Kinokomplexes bietet mehr als 500 Sitzplätze und wird in einem vereinfachten Modell als Quader $ABCDEFGH$ dargestellt. Abbildung 1 zeigt diesen Quader in einem kartesischen Koordinatensystem, dabei gilt:

$A(0|0|0)$, $B(20|0|0)$, $D(0|23|0)$, $E(0|0|9)$, $G(20|23|9)$, $H(0|23|9)$, $J(20|5|0)$, $K(20|23|6)$, $L(0|23|6)$

Eine Längeneinheit steht in diesem Koordinatensystem für einen Meter. Die Leinwand des Kinos ist an der Wandfläche $AEFB$ angebracht.

Die Punkte $I$, $J$, $K$ und $L$ liegen gemeinsam in der Ebene $E_{JKL}$. Sie beschreibt in vereinfachter Form, wo sich die Sitze des Kinos befinden.

b) Die vier Punkte $I$, $J$, $K$ und $L$ liegen gemeinsam in einer Ebene $E_{JKL}$, die im Modell näherungsweise die Position der Kinositze beschreibt.

(1)

Begründen Sie, dass die Gleichung

$$E_{JKL}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \text{mit } r,s \in \mathbb{R}$$

eine Parameterdarstellung der Ebene $E_{JKL}$ ist.

(2)

Bestimmen Sie durch Rechnung eine Koordinatengleichung der Ebene $E_{JKL}$.

[Mögliche Lösung: $E_{JKL}: 2x_2 - 6x_3 = 10$]

Für eine Lasershow sind im Kinosaal zwei Projektoren installiert, die im Modell den Punkten $G$ und $H$ entsprechen.

c) Ausgehend vom Punkt $H$ werden Laserstrahlen entlang von Richtungsvektoren der Form $\begin{pmatrix} a \\ 3b \\ b \end{pmatrix}$ mit $a,b \in \mathbb{R}$, $a \ge 0$, $b \le 0$, ausgesendet.

(1)

Zeigen Sie, dass alle Laserstrahlen, die diese Bedingung erfüllen, in der Ebene $E_{\mathrm{Laser}}: x_2 - 3x_3 = -4$ liegen.

(2)

Begründen Sie, dass $E_{JKL}$ und $E_{\mathrm{Laser}}$ zueinander parallel, aber nicht identisch sind.