Aufgabe B4 - Beurteilende Statistik: Hypothesente… · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2021

In Deutschland werden E-Scooter (Elektro-Roller) immer beliebter. Wie lange ein einzelner E-Scooter im Einsatz ist, hängt jedoch stark davon ab, ob er verliehen oder privat genutzt wird. Ersten Studien zufolge ist ein Leihfahrzeug durchschnittlich nur 30 Tage in Gebrauch, ein privater E-Scooter dagegen durchschnittlich 365 Tage.

In dieser Aufgabe heißen alle Personen, die hin und wieder einen E-Scooter fahren, E-Scooter-Nutzende. Zur Vereinfachung wird angenommen, dass die Zufallsgröße $X$, welche die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden in einer zufällig gewählten Personengruppe beschreibt, binomialverteilt ist.

Vor allem in Großstädten sind E-Scooter im Einsatz. In einer deutschen Großstadt nutzt eine zufällig ausgewählte Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % gelegentlich einen E-Scooter. Dort werden 200 zufällig ausgewählte Personen gefragt, ob sie gelegentlich einen E-Scooter nutzen.

Abbildung: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ für $n=200$ und $p=0{,}1$

d) Die in c) dargestellte Werbekampagne wird auch in einer weiteren deutschen Großstadt umgesetzt. Dort liegt die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig gewählte Person gelegentlich einen E-Scooter nutzt, derzeit bei nur $6\,\%$. Nach Abschluss der Kampagne werden $150$ zufällig ausgewählte Personen dieser Stadt befragt, um zu prüfen, ob die Kampagne erfolgreich war. Mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $5\,\%$ darf man fälschlicherweise auf eine erhöhte Wahrscheinlichkeit $p > 0{,}06$ und somit auf einen Erfolg der Kampagne schließen.

Gesucht ist das größtmögliche Intervall, in dem die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden unter den befragten Personen liegen darf, damit man unter Einhaltung der $5\,\%$-Vorgabe von einer erhöhten Wahrscheinlichkeit $p > 0{,}06$ sprechen kann.

(1)

Ermitteln Sie das Intervall, nach dem gefragt ist.

(2)

Angenommen, die Maßnahme möge erfolgreich gewesen sein und für die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig ausgewählte Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt, gelte $p > 0{,}06$. Darüber hinaus betrage die Wahrscheinlichkeit, dass man mit dem in (1) ermittelten Intervall fälschlicherweise auf einen Misserfolg der Werbekampagne schließt, höchstens $20\,\%$.

Bestimmen Sie den kleinsten Wert von $p$ mit zwei Nachkommastellen mit $0{,}06 < p \le 1{,}00$, für den diese Annahmen zutreffen.