Aufgabe B2 - Knickfreier Übergang · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2021

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung: Entwicklung eines Bienenvolkes

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus zehntausenden Arbeiterinnen, mehreren hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Ausschließlich die Königin legt die Eier, aus denen der Nachwuchs schlüpft. Ein bestimmtes Bienenvolk wurde im Jahr 2019 genau beobachtet, anschließend wurde seine Entwicklung modelliert. Weil sich fast alle Eier zu Arbeiterinnen entwickeln, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend werden die Arbeiterinnen „Bienen“ genannt.

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Die Zunahme der Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen wird für $0 \le t \le 232$ durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$ modelliert. Dabei entspricht $t = 0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t = 1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag“. Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0; 232]$.

Für die gesamte Aufgabe gilt: Eine Umrechnung in Datumsangaben ist nicht erforderlich!

Ist ein Bienenvolk zu groß geworden oder fehlt ihm der Platz im Nest, teilt es sich und sucht neue Nistplätze – es schwärmt. Die meisten Imkerinnen und Imker möchten das verhindern.

Um vorherzusagen, wann ein Schwärmen droht („Schwarmzeit“), nutzt ein Imker zwei unterschiedliche Ansätze:

Bei Ansatz A geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn die Zuwachsrate mehr als 1300 Bienen pro Tag beträgt.

Bei Ansatz B geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn in den nächsten 21 Tagen mindestens 30 000 Bienen schlüpfen werden.

Die Lebenszeit einer Biene nach dem Schlüpfen beträgt im Frühjahr und Sommer wegen ihrer hohen Arbeitsbelastung durch die Brutpflege, die Wachsproduktion und das Sammeln von Nahrung durchschnittlich nur ca. 35 Tage („Sommerbienen“). Diese Lebenserwartung gilt für fast alle Bienen, die vor dem 1. September ($t \le 181$) schlüpfen. Am Ende des 5. Oktober ($t = 216$) sind die meisten Sommerbienen demnach gestorben.

Die Sterberate (in der Einheit „Bienen pro Tag“) der Sommerbienen wird für $35 \le t \le 216$ mit der Funktion $g$ mit

$$g(t) = \frac{1}{800000}t^4 - \frac{1}{30000}t^3 - \frac{5}{18}t^2 + 59{,}25\,t - 1733, \quad t \in \mathbb{R},$$ modelliert.

Für $35 \le t \le 216$ lässt sich die Änderungsrate der Bienenanzahl (in der Einheit „Bienen pro Tag“) durch die Funktion $d$ mit $d(t) = f(t) - g(t)$ beschreiben.

d) Bienen, die etwa ab dem 1. September schlüpfen („Winterbienen“), müssen im Herbst und Winter kaum arbeiten und haben deshalb eine sehr viel längere Lebenserwartung. Viele dieser Bienen überleben – gemeinsam mit ihrer Königin – den Winter und versorgen im nächsten Frühjahr die erste Brut, bevor sie sterben. Ab dem Ende des 5. Oktober ($t = 216$) besteht das Volk in diesem Modell aus Winterbienen und einigen spät geschlüpften Sommerbienen mit erhöhter Lebenserwartung.

Die Sterberate der Bienen ab dem 6. Oktober soll durch eine Funktion $h$ modelliert werden. Die Funktion $h$ soll für $t \ge 216$ ausschließlich positive Funktionswerte aufweisen. Ihr Graph soll streng monoton fallen und sich dabei langfristig dem Graphen der konstanten Funktion $l$ mit der Gleichung $l(t) = 20$ annähern.

Bei passender Wahl der Parameter $a$ und $b$ eignet sich der Ansatz

$$h(t) = a \cdot \mathrm{e}^{b \cdot t} + 20, \quad t \ge 216$$

um eine Funktion $h$ zu erhalten, die die genannten Bedingungen erfüllt.

(2)

Bestimmen Sie $a$ und $b$ so, dass der Graph von $h$ an der Stelle $t = 216$ ohne Knick an den Graphen der Funktion $g$ anschließt. [3 Punkte]