Aufgabe c - Ganzrationale Funktion bestimmen · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2021

c) Zum Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$ sind diese Angaben bekannt:

Die Funktion hat an der Stelle $x = 2$ ein lokales Extremum.

$W(0|4)$ ist ein Wendepunkt des Graphen.

Die Funktion hat bei $x = 4$ eine Nullstelle.

(1)

Begründen Sie, warum die gesuchte Funktion mindestens den Grad 3 haben muss.

(2)

Man geht von diesem Ansatz aus:

$$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, \quad f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \quad \text{und} \quad f''(x) = 6ax + 2b$$

Zur Bestimmung der Gleichung der Funktion $f$ dient das folgende Gleichungssystem:

$\begin{aligned}

d &= 4 \\

64a + 16b + 4c + d &= 0 \\

12a + 4b + c &= 0 \\

2b &= 0

\end{aligned}$

Begründen Sie die zweite und die dritte Gleichung des Gleichungssystems jeweils anhand der Angaben (i), (ii) bzw. (iii).

(3)

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des vorliegenden Gleichungssystems.