Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2021

Für die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ einer Funktionenschar gilt die Gleichung

$$f_a(x) = 2ax \cdot e^{a-x} + 1 \quad \text{mit } a \in \mathbb{R},\ a \neq 0.$$ Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}5$ und $a = -1$.

Nachfolgend sei $a = -2$.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f_{-2}$, die Wendetangente an den Graphen von $f_{-2}$ und den Graphen der Funktion $g_{-2}$, bei dem es sich um die Tangente an den Graphen von $f_{-2}$ im Punkt $(0 \mid 1)$ handelt.

Es gilt $$h_{-2}(x) = \frac{4}{e^2}x + \frac{e^2 - 8}{e^2} \quad \text{und} \quad g_{-2}(x) = -4x + 1.$$

Der Graph von $f_{-2}$ und die beiden Tangenten begrenzen gemeinsam eine Fläche.

Zwei Funktionsgraphen berühren sich in einem gemeinsamen Punkt $P$, falls ihre Steigungen in $P$ übereinstimmen.

Abbildung 3 zeigt die Graphen von $f_1$, $f_{-2}$ sowie einer weiteren Funktion $k$.

Der Graph der Funktion $k$ berührt den Graphen der Funktion $f_{-2}$ im Wendepunkt $W_{-2}\left(1 \mid 1 - \frac{4}{e^2}\right)$. Man erhält ihn, indem man den Graphen von $f_1$ nacheinander in $x$-Richtung und in $y$-Richtung verschiebt.

b) (1)

Ermitteln Sie rechnerisch, abhängig von $a$, die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen von $f_a$ sowie deren Art.

b) (2)

Es existieren zwei reelle Zahlen $s$ und $t$, $s, t \in \mathbb{R}$, deren Differenz $1$ beträgt und für die Folgendes zutrifft:

Der Graph von $f_{0,5}$ besitzt in den Punkten $(s \mid f_{0,5}(s))$ und $(t \mid f_{0,5}(t))$ dieselbe Steigung.

Bestimmen Sie $s$ und $t$, gerundet auf zwei Nachkommastellen, und geben Sie die Steigung des Graphen von $f_{0,5}$ an diesen Stellen an.

d) (3)

Die Funktion $h_a$ hat als Graph die Tangente an den Graphen von $f_a$ im Wendepunkt $W_a\left(-\frac{2}{a} \;\middle|\; 1-\frac{4}{\mathrm{e}^2}\right)$; sie wird im Folgenden Wendetangente genannt.

Ermitteln Sie rechnerisch, abhängig von $a$, eine Funktionsgleichung für $h_a$.

e)

Zwei Funktionsgraphen berühren sich in einem gemeinsamen Punkt $P$, wenn sie in $P$ dieselbe Steigung aufweisen.

Abbildung 3 zeigt die Graphen von $f_1$, $f_{-2}$ und einer weiteren Funktion $k$.

Der Graph von $k$ berührt den Graphen von $f_{-2}$ im Wendepunkt $W_{-2}\left(1 \;\middle|\; 1-\frac{4}{\mathrm{e}^2}\right)$. Er geht aus dem Graphen von $f_1$ hervor, indem dieser nacheinander in $x$-Richtung und in $y$-Richtung verschoben wird.

Ermitteln Sie rechnerisch, welche Verschiebungen den Graphen von $f_1$ in den Graphen von $k$ überführen, und geben Sie eine Funktionsgleichung für $k$ an.

[Hinweis: Der Funktionsterm von $k$ muss nicht vereinfacht werden.]