Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2021

Der größte Saal eines Kinokomplexes bietet mehr als 500 Sitzplätze und wird in einem vereinfachten Modell als Quader $ABCDEFGH$ dargestellt. Abbildung 1 zeigt diesen Quader in einem kartesischen Koordinatensystem, dabei gilt:

$A(0|0|0)$, $B(20|0|0)$, $D(0|23|0)$, $E(0|0|9)$, $G(20|23|9)$, $H(0|23|9)$, $J(20|5|0)$, $K(20|23|6)$, $L(0|23|6)$

Eine Längeneinheit steht in diesem Koordinatensystem für einen Meter. Die Leinwand des Kinos ist an der Wandfläche $AEFB$ angebracht.

Die Punkte $I$, $J$, $K$ und $L$ liegen gemeinsam in der Ebene $E_{JKL}$. Sie beschreibt in vereinfachter Form, wo sich die Sitze des Kinos befinden.

a)

Geben Sie die Koordinaten von Punkt $F$ an. [1 Punkt]

b)(3)

Berechnen Sie, wie lang die Kante $\overline{JK}$ ist. [1 Punkt]

c)(3)

Bestimmen Sie rechnerisch, welchen Abstand die Ebene $E_{JKL}$ von der Ebene $E_{\text{Laser}}$ hat. [3 Punkte]

c)(4)

Laserstrahlen werden in Richtung der Vektoren $\vec{v}_a = \begin{pmatrix} a \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}, a \ge 0$, ausgestrahlt.

Bestimmen Sie rechnerisch, für welchen Wert von $a$ ein Laserstrahl verläuft, der mit der Kante $\overline{HG}$ einen Winkel von $60^\circ$ einschließt. [4 Punkte]

d)(1)

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte $S_k$, die von $k$ abhängen und in denen die Laserstrahlen die Wandfläche $AEFB$ erreichen. Zeigen Sie, dass die Punkte $S_k$ vom Punkt $M(5|0|5)$ stets denselben Abstand haben, unabhängig von $k$. [4 Punkte]

d)(2)

Für $-2 \le k \le 2$ bilden die Punkte $S_k$, in denen die Laserstrahlen die Leinwand erreichen, eine geometrische Figur. Begründen Sie, dass diese ein nach unten geöffneter Halbkreis ist. [3 Punkte]