Aufgabe B1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2021

Für die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ einer Funktionenschar gilt die Gleichung

$$f_a(x) = 2ax \cdot e^{a-x} + 1 \quad \text{mit } a \in \mathbb{R},\ a \neq 0.$$ Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}5$ und $a = -1$.

Nachfolgend sei $a = -2$.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f_{-2}$, die Wendetangente an den Graphen von $f_{-2}$ und den Graphen der Funktion $g_{-2}$, bei dem es sich um die Tangente an den Graphen von $f_{-2}$ im Punkt $(0 \mid 1)$ handelt.

Es gilt $$h_{-2}(x) = \frac{4}{e^2}x + \frac{e^2 - 8}{e^2} \quad \text{und} \quad g_{-2}(x) = -4x + 1.$$

Der Graph von $f_{-2}$ und die beiden Tangenten begrenzen gemeinsam eine Fläche.

Zwei Funktionsgraphen berühren sich in einem gemeinsamen Punkt $P$, falls ihre Steigungen in $P$ übereinstimmen.

Abbildung 3 zeigt die Graphen von $f_1$, $f_{-2}$ sowie einer weiteren Funktion $k$.

Der Graph der Funktion $k$ berührt den Graphen der Funktion $f_{-2}$ im Wendepunkt $W_{-2}\left(1 \mid 1 - \frac{4}{e^2}\right)$. Man erhält ihn, indem man den Graphen von $f_1$ nacheinander in $x$-Richtung und in $y$-Richtung verschiebt.

a)

Geben Sie an, welchem Wert von $a$ jeder der beiden Graphen zugeordnet ist.

[1 Punkt]

c)

(1) Zeigen Sie, dass sich der Graph von $f_{-a}$ ergibt, wenn man den Graphen von $f_a$ an der y-Achse spiegelt.

[2 Punkte]

(2) Die Funktion $\tilde{f}$ ist gegeben durch $\tilde{f}(x) = 2 \cdot f_1(x) - 1$, $x \in \mathbb{R}$.

Untersuchen Sie, ob $\tilde{f}$ ein Element der Funktionenschar $f_a$ ist, und geben Sie gegebenenfalls den passenden Wert von $a$ an.

[2 Punkte]

d)

Für jedes $a \in \mathbb{R}, a \neq 0$, ist $W_a\left(-\frac{2}{a} \;\middle|\; 1-\frac{4}{\mathrm{e}^2}\right)$ der Wendepunkt des Graphen von $f_a$.

[Hinweis: Ein Nachweis ist nicht erforderlich.]

Mit $d_a$ wird die Entfernung zwischen dem Wendepunkt $W_a$ und dem Schnittpunkt des Graphen von $f_a$ mit der y-Achse bezeichnet.

(1) Berechnen Sie sämtliche Werte des Parameters $a$, für die $d_a = 5$ gilt.

[4 Punkte]

(2) (i) Untersuchen Sie für $a > 0$, wie sich die Lage des Wendepunktes verändert, wenn $a$ größer wird.

[3 Punkte]

(2) (ii) Für $a > 0$ nähert sich der Abstand $d_a$ einem festen Wert, wenn $a$ immer größer wird.

Geben Sie diesen Wert an.

[1 Punkt]