Aufgabe e (A1) - Geradenschar und Ebene · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2021

e) Betrachtet werden die Geradenschar $g_a$ und die Ebene $E$, die durch folgende Gleichungen beschrieben werden:

$$g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} a \\ -1 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}, \quad r \in \mathbb{R},\, a \in \mathbb{R} \quad \text{und}$$

$$E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s, t \in \mathbb{R}.$$

(1)

Bestimmen Sie den Wert von $a$, für den die Gerade $g_a$ auf der Ebene $E$ senkrecht steht.

(2)

Ermitteln Sie für die Ebene $E$ eine Gleichung in Koordinatenform.

(3)

Geben Sie einen Wert für $a$ an, bei dem die Gerade $g_a$ vollständig in der Ebene $E$ liegt.