Aufgabe B2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2021

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung: Entwicklung eines Bienenvolkes

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus zehntausenden Arbeiterinnen, mehreren hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Ausschließlich die Königin legt die Eier, aus denen der Nachwuchs schlüpft. Ein bestimmtes Bienenvolk wurde im Jahr 2019 genau beobachtet, anschließend wurde seine Entwicklung modelliert. Weil sich fast alle Eier zu Arbeiterinnen entwickeln, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend werden die Arbeiterinnen „Bienen“ genannt.

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Die Zunahme der Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen wird für $0 \le t \le 232$ durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$ modelliert. Dabei entspricht $t = 0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t = 1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag“. Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0; 232]$.

Für die gesamte Aufgabe gilt: Eine Umrechnung in Datumsangaben ist nicht erforderlich!

Ist ein Bienenvolk zu groß geworden oder fehlt ihm der Platz im Nest, teilt es sich und sucht neue Nistplätze – es schwärmt. Die meisten Imkerinnen und Imker möchten das verhindern.

Um vorherzusagen, wann ein Schwärmen droht („Schwarmzeit“), nutzt ein Imker zwei unterschiedliche Ansätze:

Bei Ansatz A geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn die Zuwachsrate mehr als 1300 Bienen pro Tag beträgt.

Bei Ansatz B geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn in den nächsten 21 Tagen mindestens 30 000 Bienen schlüpfen werden.

Die Lebenszeit einer Biene nach dem Schlüpfen beträgt im Frühjahr und Sommer wegen ihrer hohen Arbeitsbelastung durch die Brutpflege, die Wachsproduktion und das Sammeln von Nahrung durchschnittlich nur ca. 35 Tage („Sommerbienen“). Diese Lebenserwartung gilt für fast alle Bienen, die vor dem 1. September ($t \le 181$) schlüpfen. Am Ende des 5. Oktober ($t = 216$) sind die meisten Sommerbienen demnach gestorben.

Die Sterberate (in der Einheit „Bienen pro Tag“) der Sommerbienen wird für $35 \le t \le 216$ mit der Funktion $g$ mit

$$g(t) = \frac{1}{800000}t^4 - \frac{1}{30000}t^3 - \frac{5}{18}t^2 + 59{,}25\,t - 1733, \quad t \in \mathbb{R},$$ modelliert.

Für $35 \le t \le 216$ lässt sich die Änderungsrate der Bienenanzahl (in der Einheit „Bienen pro Tag“) durch die Funktion $d$ mit $d(t) = f(t) - g(t)$ beschreiben.

b) Ist ein Bienenvolk zu groß geworden oder fehlt ihm der Platz im Nest, spaltet es sich und begibt sich auf die Suche nach neuen Nistplätzen – die Bienen schwärmen. Die meisten Imkerinnen und Imker möchten das verhindern.

Um zu prognostizieren, wann ein Schwärmen der Bienen droht („Schwarmzeit“), nutzt ein Imker zwei unterschiedliche Ansätze:

Nach Ansatz A rechnet der Imker mit einem möglichen Schwärmen, sobald die Zuwachsrate über 1300 Bienen pro Tag liegt.

Nach Ansatz B rechnet der Imker mit einem möglichen Schwärmen, wenn innerhalb der nächsten 21 Tage mindestens 30 000 Bienen schlüpfen.

(1)

Ermitteln Sie für Ansatz A, in welchem Zeitraum ein Schwärmen der Bienen droht.

d) Bienen, die ungefähr ab dem 1. September schlüpfen („Winterbienen“), müssen im Herbst und Winter kaum arbeiten und leben daher deutlich länger. Viele von ihnen überstehen – zusammen mit ihrer Königin – den Winter und versorgen im folgenden Frühjahr die erste Brut, ehe sie sterben. Ab dem Ende des 5. Oktober ($t = 216$) setzt sich das Volk in diesem Modell aus Winterbienen und einigen spät geschlüpften Sommerbienen mit erhöhter Lebenserwartung zusammen.

Die Sterberate der Bienen ab dem 6. Oktober soll durch eine Funktion $h$ modelliert werden. Die Funktion $h$ soll für $t \ge 216$ ausschließlich positive Funktionswerte aufweisen. Ihr Graph soll streng monoton fallen und sich dabei langfristig dem Graphen der konstanten Funktion $l$ mit der Gleichung $l(t) = 20$ annähern.

(1)

Mit geeigneten Parametern $a$ und $b$ ist der Ansatz brauchbar$$h(t) = a \cdot \mathrm{e}^{b \cdot t} + 20, \quad t \ge 216$$um eine Funktion $h$ zu bestimmen, welche die obigen Anforderungen erfüllt.

Geben Sie an, welches Vorzeichen die Parameter $a$ und $b$ jeweils haben müssen, und begründen Sie, dass die Funktion $h$ bei dieser Wahl der Vorzeichen alle genannten Anforderungen erfüllt.