Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2021

Aufgabenstellung:

Beim Secret-Sharing wird ein Geheimnis in einzelne Teilgeheimnisse zerlegt und an unterschiedliche Personen verteilt, sodass die Verantwortung auf mehrere Schultern fällt. Dies ist beispielsweise bei einem geheimen Code zum Öffnen eines Tresors sinnvoll: Er soll nicht einer einzelnen Person bekannt sein, sondern nur von mehreren Personen zusammen rekonstruiert werden können.

Ein Unternehmen kann ein solches Verfahren z. B. geometrisch umsetzen. Dabei ermittelt eine Gruppe von Mitarbeitenden, die über die erforderlichen Teilgeheimnisse verfügen, den geheimen Code, indem sie ihre Teilgeheimnisse in ein Computersystem eintragen, das aus diesen Eingaben geometrische Probleme löst.

Zur Vereinfachung gilt im Weiteren, dass der geheime Code, der bestimmt werden soll, stets dreistellig ist.

b)

In einem anderen Unternehmen besteht der geheime Code aus den ersten drei Ziffern des ungerundeten Dezimalwerts des Volumens einer quadratischen Pyramide. Deren quadratische Grundfläche liegt in der dem System bekannten Ebene $Q: -3x_1 + 4x_3 = 9$. Die Geschäftsführerin kennt die Spitze der Pyramide mit den Koordinaten $(1{,}5|3{,}5|6{,}5)$. Jeder Mitarbeitende kennt als Teilgeheimnis die Koordinaten genau eines Eckpunkts der Grundfläche.

Drei Mitarbeitende und die Geschäftsführerin geben ihre Teilgeheimnisse $(1|1|3)$, $(1|6|3)$, $(5|1|6)$ und $(1{,}5|3{,}5|6{,}5)$ ein.

Berechnen Sie den geheimen Code. [5 Punkte]

c)

Bei einem weiteren Unternehmen bilden die ersten drei Nachkommastellen der ungerundeten Länge der Höhe $h_{\overline{IJ}}$ eines gleichschenkligen Dreiecks $IJK$ mit der Basis $\overline{IJ}$ den geheimen Code.

Zwei Mitarbeitende kennen als Teilgeheimnis jeweils einen Endpunkt der Basis $\overline{IJ}$, nämlich $I(4|3|2)$ bzw. $J(8|6|-1)$. Ein dritter eingeweihter Mitarbeiter kennt die Spitze $K(6|5|1)$ des gleichschenkligen Dreiecks $IJK$.

(1)

Zeigen Sie, dass $I$, $J$ und $K$ ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{IJ}$ bilden. [2 Punkte]

(2)

Berechnen Sie den geheimen Code. [2 Punkte]

[Zur Kontrolle: Der geheime Code ist 707.]

(3)

Der Punkt $L(6|4|0)$ ergibt sich durch Spiegelung des Punktes $K$ an der Geraden $IJ$ [Ein Nachweis ist nicht erforderlich]. Mit den Koordinaten von $L$ kann ein anderer Mitarbeiter zusammen mit den Mitarbeitenden, die die Koordinaten von $I$ und $J$ kennen, den geheimen Code ermitteln.

Einem weiteren Mitarbeiter soll ein Punkt $P$ zugewiesen werden, der ebenso wie $K$ bzw. $L$ mit $I$ und $J$ ein gleichschenkliges Dreieck $IJP$ mit der Basis $\overline{IJ}$ bildet. Auch aus $I$, $J$ und $P$ soll sich auf die oben beschriebene Weise der in c) (2) berechnete geheime Code ergeben.

(i)

Beschreiben Sie, wo geeignete Punkte liegen. [2 Punkte]

(ii)

Aus Sicherheitsgründen soll sich $P$ in seinen Koordinaten sowohl von $K$ als auch von $L$ unterscheiden.

Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten eines passenden Punktes $P$. [3 Punkte]

[Hinweis: Die Koordinaten von $P$ dürfen auch nicht ganzzahlig sein.]