Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2021

Die Abbildung stellt als Modell den Längsschnitt einer aus drei Teilen bestehenden Holzbrücke für eine Spielzeugeisenbahn dar. Die Züge können über die Brücke fahren und ebenso unter ihr hindurchfahren.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts beschreibt der achsensymmetrische Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$.

Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ stellen dabei die Endpunkte dieser Randlinie dar. Im verwendeten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; eine Längeneinheit steht in der Realität für einen Dezimeter.

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q_a$ mit $q_a(x) = 0{,}8 - a \cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R}, a > 0$ beschrieben werden.

a)

Bestimmen Sie durch Rechnung sowohl die Höhe als auch die Länge der Brücke.

[Kontrolllösung: Ein Tiefpunkt des Graphen von $f$ hat die $x$-Koordinate 2.]

c)

Bestimmen Sie die maximale Steigung, die man beim Überqueren der Brücke bewältigen muss.