Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2021

Aufgabenstellung:

Beim Secret-Sharing wird ein Geheimnis in einzelne Teilgeheimnisse zerlegt und an unterschiedliche Personen verteilt, sodass die Verantwortung auf mehrere Schultern fällt. Dies ist beispielsweise bei einem geheimen Code zum Öffnen eines Tresors sinnvoll: Er soll nicht einer einzelnen Person bekannt sein, sondern nur von mehreren Personen zusammen rekonstruiert werden können.

Ein Unternehmen kann ein solches Verfahren z. B. geometrisch umsetzen. Dabei ermittelt eine Gruppe von Mitarbeitenden, die über die erforderlichen Teilgeheimnisse verfügen, den geheimen Code, indem sie ihre Teilgeheimnisse in ein Computersystem eintragen, das aus diesen Eingaben geometrische Probleme löst.

Zur Vereinfachung gilt im Weiteren, dass der geheime Code, der bestimmt werden soll, stets dreistellig ist.

a)

(1) Dem Computersystem ist die Gerade $g$ bekannt mit $g\!: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R}$.

Die Punkte $A(0|-3|-1)$, $B(4|2|1)$ und $C(1|-1|-1)$ liegen in einer gemeinsamen Ebene $H$. Je ein eingeweihter Mitarbeiter kennt die Koordinaten genau eines dieser drei Punkte als Teilgeheimnis. Den geheimen Code bilden die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ von $g$ und $H$.

(i)

Die Koordinaten von $A$, $B$ und $C$ werden in das System eingetragen.

Berechnen Sie den geheimen Code des Systems.

(ii)

Der Punkt $S$ liegt nicht auf der Geraden durch $A$ und $B$. Ein vierter Mitarbeiter bekommt den Punkt $D(12|12|5)$ als Teilgeheimnis zugewiesen. Der Punkt $D$ liegt ebenfalls in der Ebene $H$.

Begründen Sie, weshalb das System den geheimen Code auch dann nicht ermitteln kann, wenn die Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $D$ eingegeben werden.

(2) Das System verarbeitet nicht nur Koordinaten von Ebenenpunkten, sondern auch andere Angaben zur Ebene, etwa die Koordinaten eines Normalenvektors. Eine Geschäftsführerin kennt als Teilgeheimnis die Koordinaten eines Normalenvektors von $H$.

(i)

Begründen Sie, weshalb die Geschäftsführerin gemeinsam mit einem beliebigen der vier eingeweihten Mitarbeiter bereits den geheimen Code ermitteln kann.

(ii)

Berechnen Sie einen Normalenvektor der Ebene $H$.