Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2021

Aufgabenstellung:

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ und $g_a$ mit

$$f_a(x) = -\frac{a}{250}x^4 + \frac{1}{25}x^3, \quad a \in \mathbb{R},\ a > 0 \text{ sowie}$$

$$g_a(x) = f_a(x) - \frac{3}{5}x = -\frac{a}{250}x^4 + \frac{1}{25}x^3 - \frac{3}{5}x.$$

In Abbildung 1 ist der Graph von $g_1$ dargestellt.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von $f_1$ mit den Koordinatenachsen und die Koordinaten seines Extrempunktes.

Zeichnen Sie in Abbildung 1 den Graphen von $f_1$ ein.

a) (2)

Geben Sie an, für welche Werte von $x$ der Graph von $f_1$ oberhalb des Graphen von $g_1$ liegt und für welche unterhalb. Begründen Sie Ihre Angabe.

a) (3)

Für jeden Wert von $a$ gilt:

I Die Funktionsterme von $f_a$ und $g_a$ unterscheiden sich nur um den Summanden $-\frac{3}{5}x$.

II Der Graph von $f_a$ hat genau zwei Wendepunkte, deren $x$-Koordinaten $0$ und $\frac{5}{a}$ sind.

Geben Sie an, welche Schlussfolgerung aus I und II für die Anzahl und die Lage der Wendepunkte des Graphen von $g_a$ im Vergleich zu denen des Graphen von $f_a$ möglich ist. Begründen Sie Ihre Angabe anhand von I und II.

Teilaufgabe b)

Die Tangente $t_{f_a}$ an den Graphen von $f_a$ im Punkt $\left(\frac{5}{a}\,\middle|\,\frac{5}{2a^3}\right)$ hat die Steigung $\frac{1}{a^2}$, die Tangente $t_{g_a}$ an den Graphen von $g_a$ im Punkt $\left(\frac{5}{a}\,\middle|\,g_a\left(\frac{5}{a}\right)\right)$ hat die Steigung $\frac{5-3a^2}{5a^2}$, sie wird durch die Gleichung $t_{g_a}: y = \frac{5-3a^2}{5a^2}x - \frac{5}{2a^3}$ beschrieben.

Der Schnittpunkt dieser beiden Tangenten wird mit $S_a$ bezeichnet.

b) (1)

Weisen Sie nach, dass der Punkt $S_a$ unabhängig vom Wert von $a$ auf der $y$-Achse liegt.

b) (2)

Die Gerade mit der Gleichung $x = \frac{5}{a}$ schneidet die Tangente $t_{g_a}$.

Untersuchen Sie, für welchen Wert von $a \in \mathbb{R}$ mit $a > 0$ die Gerade und die Tangente $t_{g_a}$ aufeinander senkrecht stehen.

Teilaufgabe c)

Abbildung 2 zeigt schematisch die Profillinie des Längsschnittes einer Skipiste in einer Skihalle. Die Piste ist in Querrichtung nicht geneigt und durchgehend $30\text{ m}$ breit.

Die Profillinie wird für $0 \le x \le 41{,}5$ modellhaft durch den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $p$ mit $p(x) = -0{,}000004x^4 + 0{,}015x^2 - 0{,}1x + 0{,}1875$ dargestellt.

Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $x$-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $10\text{ m}$ in der Realität.

c) (1)

Bestimmen Sie in Prozent die maximale Neigung der Piste gegenüber der Horizontalen.

%

Über der Piste verläuft in deren Längsrichtung ein Seil. Die beiden Enden des Seils werden im Modell durch $A(5\mid 2{,}31)$ und $B(37\mid 10{,}68)$ dargestellt; der Verlauf des Seils kann mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x) = b \cdot c^x$, $b > 0$, $c > 0$ beschrieben werden.

c) (2)

Bestimmen Sie die Werte von $b$ und $c$. [Zur Kontrolle: $b \approx 1{,}818$, $c \approx 1{,}049$]

c) (3)

Untersuchen Sie, in welchen Bereichen das Seil senkrecht gemessen mindestens $3\text{ m}$ von der Piste entfernt ist.

Ermitteln Sie die Höhendifferenz, um die die beiden Enden des Seils gemeinsam mindestens angehoben werden müssten, damit das Seil an jeder Stelle von der Piste einen vertikalen Abstand von mindestens $3\text{ m}$ hat.

m