Aufgabe B5 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2021

Die Abbildung stellt als Modell den Längsschnitt einer aus drei Teilen bestehenden Holzbrücke für eine Spielzeugeisenbahn dar. Die Züge können über die Brücke fahren und ebenso unter ihr hindurchfahren.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts beschreibt der achsensymmetrische Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$.

Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ stellen dabei die Endpunkte dieser Randlinie dar. Im verwendeten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; eine Längeneinheit steht in der Realität für einen Dezimeter.

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q_a$ mit $q_a(x) = 0{,}8 - a \cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R}, a > 0$ beschrieben werden.

b)

Es geht um den Punkt der oberen Randlinie, an dem das mittlere Bauteil in das rechte übergeht.

Prüfen Sie, ob dieser Punkt auf halber Höhe zwischen dem höchsten Punkt der oberen Randlinie und ihrem rechten Endpunkt liegt. [3 Punkte]

d)

Die Länge einer der beiden Bodenflächen des mittleren Bauteils ist in der Abbildung mit $s$ benannt.

Bestimmen Sie sämtliche Werte von $a$, für die diese Länge mindestens $0{,}1\text{ dm}$ beträgt. [4 Punkte]

e)

Begründen Sie im Sachzusammenhang, weshalb beliebig große Werte von $a$ für die Beschreibung der unteren Randlinie ungeeignet sind. [2 Punkte]

g)

In der Planungsphase der Brückenform standen für die obere Randlinie eine Funktion $g_l$ (linkes Bauteil) und eine Funktion $g_r$ (rechtes Bauteil) zur Auswahl. Auch mit diesen Funktionen wäre die obere Randlinie achsensymmetrisch gewesen.

Entscheiden Sie jeweils mit Begründung, welche der folgenden Eigenschaften für die Funktionen $g_l$ und $g_r$ gelten. [4 Punkte]

(1) $-g_l(x) = g_r(-x)$ für $-2 \le x \le -1$

(2) $g_l(x-1) = g_r(-x+1)$ für $-1 \le x \le 0$