Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2021

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 stellt den Graphen von $f$ dar.

Teilaufgabe a)

(1)

Begründen Sie, weshalb $x = 1$ die einzige Nullstelle von $f$ darstellt.

(2)

Zeigen Sie: $f'(x) = 10 \cdot (2 - x) \cdot e^{-x}$.

(3)

Untersuchen Sie $f$ mithilfe einer Rechnung hinsichtlich lokaler Extremstellen.

Teilaufgabe b)

Gegeben ist die Funktion $t$ mit $t(x) = -10 \cdot e^{-3} \cdot x + 50 \cdot e^{-3},\ x \in \mathbb{R}$, und der Wendepunkt $W(3 \mid f(3))$ des Graphen von $f$.

(1)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ im Punkt $W$ den Graphen von $f$ tangiert.

(2)

Verbindet man die Schnittpunkte der Tangente aus b) (1) mit den beiden Koordinatenachsen, entsteht eine Strecke. Berechnen Sie deren Länge.

(3)

Im Intervall $[1; 5]$ schließen der Graph von $f$, die Tangente aus b) (1) und die $x$-Achse eine Fläche $F$ ein (siehe Abbildung 2).

Bestimmen Sie den Flächeninhalt von $F$.

Teilaufgabe c)

Die Gerade $g$ ist die Parallele zur $x$-Achse durch den Hochpunkt $H(2 \mid f(2))$ des Graphen von $f$. Die $y$-Achse, $g$ und der Graph von $f$ schließen eine Fläche ein (siehe grau gefärbte Fläche in Abbildung 3).

(1)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieser Fläche.

$Q_u(u \mid f(u)),\ 0 < u < 2$, ist ein Punkt auf dem Graphen von $f$. Die Parallelen durch $Q_u$ zu den beiden Koordinatenachsen werden mit $p_x$ und $p_y$ bezeichnet. Die $y$-Achse, $g$, $p_x$ und $p_y$ begrenzen ein Rechteck (siehe schraffierte Fläche in Abbildung 3).

(2)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieses Rechtecks, wenn $Q_u$ der Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $x$-Achse ist.

(3)

Untersuchen Sie, um wie viel Prozent der Wert aus (2) höchstens zunehmen kann, falls $Q_u(u \mid f(u))$ an einer anderen Stelle mit $0 < u < 2$ liegt.

%

Teilaufgabe d)

Die Gerade mit der Gleichung $y = x$ wird als „1. Winkelhalbierende“ bezeichnet. Es gibt genau eine Tangente $t_R$ an den Graphen von $f$, die parallel zur 1. Winkelhalbierenden ist. Eine mit vier Nachkommastellen angegebene näherungsweise Gleichung für $t_R$ ist $y = x - 0{,}3824$.

Ermitteln Sie rechnerisch den Abstand zwischen der Tangente $t_R$ und der 1. Winkelhalbierenden.

Teilaufgabe e)

Die Funktion $f$ gehört zur Schar $h_a$, die gegeben ist durch $h_a(x) = 10 \cdot (x - a) \cdot e^{-x},\ x \in \mathbb{R},\ a \in \mathbb{R}$. Ohne Nachweis kann verwendet werden: $h_a''(x) = 10 \cdot (x - a - 2) \cdot e^{-x}$. Der Graph von $h_a$ besitzt genau einen Wendepunkt $W_a$.

(1)

Ermitteln Sie die Koordinaten des Wendepunkts $W_a$.

[Hinweis: Ein Nachweis der hinreichenden Bedingung ist hier nicht erforderlich.]

(2)

$t_a$ ist die Tangente im Wendepunkt $W_a$. Eine Gleichung für $t_a$ ist $y = -10 \cdot e^{-a-2} \cdot x + 10 \cdot (a + 4) \cdot e^{-a-2}$. Für $a \neq -4$ begrenzt $t_a$ mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Leiten Sie einen Term für den Flächeninhalt $A_D$ des Dreiecks her.

[Mögliche Lösung: $A_D(a) = 5 \cdot (a + 4)^2 \cdot e^{-a-2}$]

(3)

Ermitteln Sie einen Wert für $a$, bei dem die Dreiecksfläche $10\ \text{FE}$ beträgt.