Aufgabe B2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2021

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus zehntausenden Arbeiterinnen, mehreren hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Eier legt allein die Königin; aus ihnen schlüpfen neue Bienen.

Für ein bestimmtes Bienenvolk wurde der Verlauf des Jahres 2019 genau beobachtet und anschließend modelliert. Weil fast alle Eier zu Arbeiterinnen werden, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend werden die Arbeiterinnen „Bienen" genannt.

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Die Zunahme der Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen wird für $0 \leq t \leq 232$ durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei entspricht $t=0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t=1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag". Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$.

Abbildung 1

In der gesamten Aufgabe müssen Zeitangaben nicht in Datumsangaben umgerechnet werden!

Für die gesamte Aufgabe gilt: Zeitangaben müssen nicht in Kalenderdaten umgerechnet werden!

a) (1)

Geben Sie die Zuwachsrate zum Ende des 22. April ($t = 50$) an.

b) (1)

Ermitteln Sie für Ansatz A, in welchem Zeitraum die Gefahr eines Schwärmens der Bienen besteht.

von $t_1 \approx$ bis $t_2 \approx$

c) (1)

Begründen Sie, dass sich für $35 \le t \le 216$ die Änderungsrate der Bienenzahl (in der Einheit „Bienen pro Tag“) durch die Funktion $d$ mit $d(t) = f(t) - g(t)$ beschreiben lässt.

d) (1)

Geben Sie die erforderlichen Vorzeichen der Parameter $a$ und $b$ an und begründen Sie, dass die Funktion $h$ bei dieser Vorzeichenwahl alle oben genannten Anforderungen erfüllt.