Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2021

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Schar der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit der Gleichung

$$f_a(x) = 2ax \cdot e^{a \cdot x} + 1 \quad \text{mit } a \in \mathbb{R},\ a \neq 0\text{.}$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}5$ und für $a = -1$.

Teilaufgabe b

b) (1)

Zeigen Sie: $f_a'(x) = 2ae^{ax} \cdot (1 + ax)$.

Im weiteren Verlauf dürfen Sie ohne Beweis die zweite Ableitung von $f_a$ verwenden: $f_a''(x) = 2a^2 \cdot e^{ax} \cdot (2 + ax)$.

b) (2)

Ermitteln Sie rechnerisch, abhängig von $a$, die lokalen Extremstellen von $f_a$ sowie deren Art.

b) (3)

Es existieren zwei reelle Zahlen $s$ und $t$, $s, t \in \mathbb{R}$, mit dem Abstand 1 zueinander, für die der Graph der Funktion $f_{0{,}5}$ in den Punkten $(s \mid f_{0{,}5}(s))$ und $(t \mid f_{0{,}5}(t))$ dieselbe Steigung besitzt.

Bestimmen Sie $s$ und $t$ gerundet auf zwei Nachkommastellen und geben Sie die Steigung des Graphen von $f_{0{,}5}$ an diesen Stellen an.

Teilaufgabe d

Für jedes $a \in \mathbb{R}$, $a \neq 0$, ist $W_a\left(-\frac{2}{a} \;\middle|\; 1 - \frac{4}{e^2}\right)$ der Wendepunkt des Graphen von $f_a$.

[Hinweis: Dies muss nicht nachgewiesen werden.]

Mit $d_a$ wird die Entfernung des Wendepunktes $W_a$ zum Schnittpunkt des Graphen von $f_a$ mit der $y$-Achse bezeichnet.

d) (1)

Berechnen Sie einen Wert für den Parameter $a$, bei dem $d_a = 5$ gilt.

d) (2)(i)

Untersuchen Sie für $a > 0$, wie sich die Lage des Wendepunktes verändert, wenn $a$ größer wird.

d) (2)(ii)

Für $a > 0$ nähert sich der Abstand $d_a$ einem festen Wert, wenn $a$ immer größer wird. Geben Sie diesen Wert an.

Nachfolgend sei $a = -2$.

Der Graph der Funktion $t_{-2}$ ist die Tangente an den Graphen von $f_{-2}$ im Wendepunkt $W_{-2}$ und wird Wendetangente genannt.

d) (3)

Ermitteln Sie auf rechnerischem Weg eine Gleichung für die Funktion $t_{-2}$.

Teilaufgabe e

Die Graphen zweier Funktionen berühren sich in einem gemeinsamen Punkt $P$, wenn sie in $P$ die gleiche Steigung haben.

In Abbildung 3 sind die Graphen von $f_1$, $f_{-2}$ und einer weiteren Funktion $k$ dargestellt.

Der Graph der Funktion $k$ berührt den Graphen der Funktion $f_{-2}$ im Wendepunkt $W_{-2}\left(1 \;\middle|\; 1 - \frac{4}{e^2}\right)$.

Der Graph von $k$ geht aus dem Graphen von $f_1$ hervor, indem dieser nacheinander in $x$-Richtung und in $y$-Richtung verschoben wird.

e)

Ermitteln Sie rechnerisch, mit welchen Verschiebungen aus dem Graphen von $f_1$ der Graph von $k$ hervorgeht, und geben Sie eine Gleichung der Funktion $k$ an.

[Hinweis: Der Funktionsterm von $k$ muss nicht vereinfacht werden.]