Aufgabe d - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2021

Thema: Funktionen und ihre Eigenschaften · Aus der Prüfung LK · Nachtermin · GTR (2021)

Aufgabenstellung

Betrachtet wird die Funktion ff mit f(x)=e−x2+4⋅x,  x∈Rf(x) = e^{-x^2+4\cdot x},\; x \in \mathbb{R}.

Abbildung 3 zeigt den Graphen von ff.

(1)

Es ist bekannt, dass f(2−a)=e−a2+4f(2-a) = e^{-a^2+4} für jedes a∈Ra \in \mathbb{R} gilt.

Weisen Sie nach, dass für jedes a∈Ra \in \mathbb{R} die Gleichung f(2+a)=f(2−a)f(2+a) = f(2-a) erfüllt ist.

(2)

Interpretieren Sie, was die Gleichung f(2−a)=f(2+a)f(2-a) = f(2+a) geometrisch für den Verlauf des Graphen von ff bedeutet.

Aufgabenstellung: Aufgabe d - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2021

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

(1) Weisen Sie nach, dass für jedes a∈Ra \in \mathbb{R} die Gleichung f(2+a)=f(2−a)f(2+a)=f(2-a) erfüllt ist.

Lösung: f(2+a)=e−(2+a)2+4(2+a)=e−4−4a−a2+8+4a=e−a2+4f(2+a) = e^{-(2+a)^2+4(2+a)} = e^{-4-4a-a^2+8+4a} = e^{-a^2+4} Somit gilt: f(2+a)=e−a2+4=f(2−a)f(2+a) = e^{-a^2+4} = f(2-a).

(2) Interpretieren Sie, was die Gleichung f(2−a)=f(2+a)f(2-a)=f(2+a) geometrisch für den Verlauf des Graphen von ff bedeutet.

Lösung: In gleichen Abständen links und rechts der Stelle x=2x = 2 liegen die gleichen Funktionswerte von ff vor, d. h. der Graph von ff ist achsensymmetrisch zu der durch x=2x = 2 gegebenen Geraden.

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