Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2021

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Wenn Muskeln körperlich beansprucht werden, bildet sich dort Laktat (Milchsäure). Mit einem Laktattest misst man die Laktatwerte im Blut und beurteilt so die Fitness eines Sportlers. Bei einem Laktatstufentest erhöht der Sportler in gleichmäßigen Zeitabständen seine Belastung, zum Beispiel auf einem Fahrrad-Ergometer.

Den Laktatwert eines bestimmten Sportlers während eines Laktatstufentests (im Folgenden kurz Laktatwert genannt) beschreibt man für $0 \leq x \leq 45$ mithilfe der Funktion $f$ mit

$$f(x)=\frac{1}{100}\left(-0{,}01x^2+x-19\right)\cdot e^{0{,}11x}+1{,}3,\quad x\in \mathbb{R},$$

Hierbei steht $x$ für die Zeit in Minuten und $f(x)$ für den Laktatwert in mmol/l (Millimol pro Liter). Zum Zeitpunkt $x=0$ beginnt der Laktatstufentest, er läuft 45 Minuten.

Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 auf der folgenden Seite dargestellt.

a)

(2) Weisen Sie die folgende Aussage nach:

Für die 1. Ableitung von $f$ gilt $f'(x) = \frac{1}{100}(-0{,}0011x^2 + 0{,}09x - 1{,}09)\cdot e^{0{,}11x}$.

(3) Ermitteln Sie, wie groß die momentane Zuwachsrate des Laktatwerts 30 Minuten nach Beginn ist.

(4) Bestimmen Sie rechnerisch, zu welchem Zeitpunkt der Laktatwert sein Minimum annimmt, und geben Sie diesen minimalen Laktatwert an.

Aus den Laktatwerten lässt sich ermitteln, zu welchem Zeitpunkt beim Laktatstufentest ein Sportler die sogenannte individuelle anaerobe Schwelle (kurz IAS) erreicht. Dann liegt die Leistung vor, die der Sportler über einen längeren Zeitraum höchstens erbringen kann. Zur Ermittlung dieses Zeitpunkts gibt es vielfältige Verfahren.

Zwei Verfahren werden im Folgenden näher betrachtet. Dabei bezeichnen $S(0\mid f(0))$ und $E(45\mid f(45))$ die zum Start und Ende des Laktatstufentests gehörenden Punkte des Graphen von $f$.

b)

Bei Verfahren A wird zunächst eine Gerade $g$ durch die Punkte $S$ und $E$ gezeichnet. Anschließend wird eine Tangente an den Graphen von $f$ gelegt, die parallel zu $g$ verläuft. Als Zeitpunkt, zu dem die IAS erreicht wird, ergibt sich bei diesem Verfahren der $x$-Wert des Berührpunkts zwischen dem Graphen von $f$ und dieser Tangente.

Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt nach Verfahren A die IAS erreicht wird.

Bei Verfahren B wird jeweils in $S$ und in $E$ eine Tangente an den Graphen von $f$ gelegt. Als Zeitpunkt, zu dem die IAS erreicht wird, ergibt sich bei diesem Verfahren der $x$-Wert desjenigen Punktes auf dem Graphen von $f$, welcher den kürzesten Abstand zum Schnittpunkt der beiden Tangenten hat (vgl. Abbildung 2).

c)

Die Gleichung der Tangente $t_S$ im Punkt $S$ kann ohne Nachweis verwendet werden. Es gilt: $t_S: y = -0{,}0109x + 1{,}11$.

(1) Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente in $E$ und bestimmen Sie den Schnittpunkt $T$ beider Tangenten, auf zwei Nachkommastellen gerundet. [Gerundete Kontrolllösung mit einer Nachkommastelle: $T(36{,}6\mid 0{,}7)$.]

(2) Bestimmen Sie eine Zielfunktion, die den Abstand eines Punktes des Graphen von $f$ zum Punkt $T$ beschreibt, und ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt nach Verfahren B die IAS erreicht wird.