Aufgabe c · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2021

c) Zum Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$ sind die folgenden Angaben bekannt:

An der Stelle $x = 2$ befindet sich ein lokales Extremum.

Der Punkt $W(0|4)$ ist ein Wendepunkt.

$x = 4$ ist eine Nullstelle.

(1)

Begründen Sie, warum die gesuchte Funktion mindestens den Grad 3 haben muss.

(2)

Verwendet wird dieser Ansatz:

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ und $f''(x) = 6ax + 2b$.

Zur Bestimmung der Gleichung der Funktion $f$ dient das folgende Gleichungssystem:

$\begin{aligned}

d &= 4 \\

64a + 16b + 4c + d &= 0 \\

12a + 4b + c &= 0 \\

2b &= 0

\end{aligned}$

Begründen Sie unter Verwendung der Informationen (i), (ii) bzw. (iii), wie die zweite und die dritte Gleichung des Gleichungssystems zustande kommen.

(3)

Bestimmen Sie die Lösung des Gleichungssystems. [1 + 2 + 2 Punkte]

$a =$

$b =$

$c =$

$d =$