Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2021

Aufgabenstellung:

Der größte Saal eines Kinokomplexes bietet mehr als 500 Sitzplätze und wird vereinfacht als Quader ABCDEFGH dargestellt. Abbildung 1 zeigt diesen Quader in einem kartesischen Koordinatensystem, dabei gilt:

$A(0|0|0)$, $B(20|0|0)$, $D(0|23|0)$, $E(0|0|9)$, $G(20|23|9)$, $H(0|23|9)$, $J(20|5|0)$, $K(20|23|6)$, $L(0|23|6)$.

In diesem Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für einen Meter. Die Leinwand des Kinos ist an der Wandfläche AEFB angebracht.

a)

Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $F$ besitzt. [1 Punkt]

b)(3)

Berechnen Sie, wie lang die Kante $\overline{JK}$ ist. [1 Punkt]

c)(3)

Bestimmen Sie durch Rechnung, wie weit die Ebene $E_{JKL}$ von der Ebene $E_{\text{Laser}}$ entfernt ist. [3 Punkte]

c)(4)

Es werden Laserstrahlen in Richtung der Vektoren $\vec{v}_a = \begin{pmatrix} a \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}$, $a \ge 0$, ausgesendet.

Bestimmen Sie rechnerisch, für welchen Wert von $a$ ein Laserstrahl entsteht, der mit der Kante $\overline{HG}$ einen Winkel von $60^\circ$ einschließt. [4 Punkte]

d)(1)

Ausgehend vom Punkt $G$ werden Laserstrahlen längs der Geraden $g_k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 23 \\ 9 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} k - 15 \\ -23 \\ \sqrt{4 - k^2} - 4 \end{pmatrix}$, $t \in \mathbb{R}$, $k \in \mathbb{R}$ mit $-2 \le k \le 2$, ausgesendet.

Diese Strahlen erreichen die Wandfläche $AEFB$ mit $E_{AEFB}: x_2 = 0$.

Bestimmen Sie die von $k$ abhängigen Koordinaten der Punkte $S_k$, in denen die Laserstrahlen die Wandfläche $AEFB$ treffen, und zeigen Sie, dass die Punkte $S_k$ vom Punkt $M(5|0|5)$ stets einen von $k$ unabhängigen Abstand haben. [4 Punkte]

d)(2)

Für $-2 \le k \le 2$ bilden die Auftreffpunkte $S_k$ der Laserstrahlen auf der Leinwand eine geometrische Figur. Begründen Sie, dass diese ein nach unten geöffneter Halbkreis ist. [3 Punkte]