Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ und $g_a$ mit

$$f_a(x) = -\frac{a}{250}x^4 + \frac{1}{25}x^3, \quad a \in \mathbb{R},\ a > 0 \quad \text{sowie}$$

$$g_a(x) = f_a(x) - \frac{3}{5}x.$$

In Abbildung 1 ist der Graph von $g_1$ dargestellt.

In Abbildung 2 ist schematisch die Profillinie des Längsschnitts einer Skipiste in einer Skihalle dargestellt. Quer zur Laufrichtung hat die Piste kein Gefälle und ist überall $30\text{ m}$ breit.

Für $0 \le x \le 41{,}5$ wird die Profillinie modellhaft durch den Graphen der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $p$ mit $p(x) = -0{,}000\,004x^4 + 0{,}015x^2 - 0{,}1x + 0{,}1875$ beschrieben.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem stellt die $x$-Achse die Horizontale dar; eine Längeneinheit entspricht in der Realität $10\text{ m}$.

In Abbildung 3 ist die Schneeschicht im unteren Pistenbereich grau hervorgehoben; Abbildung 2 wurde dafür in $y$-Richtung stärker gestreckt als in $x$-Richtung. Der Untergrund unter dem Schnee wird für $0 \le x \le 5$ durch die $x$-Achse wiedergegeben. Im restlichen Teil der Piste ist anzunehmen, dass der Schnee vertikal gemessen $60\text{ cm}$ hoch liegt.

a)

(1) Berechnen Sie für den Graphen von $f_1$ die Koordinaten seiner Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und die Koordinaten seines Extrempunktes.

Zeichnen Sie in Abbildung 1 den Graphen von $f_1$ ein.

(3) Für alle Werte von $a$ gilt:

I Die Funktionsterme von $f_a$ und $g_a$ unterscheiden sich nur um den Summanden $-\frac{3}{5}x$.

II Der Graph von $f_a$ hat genau zwei Wendepunkte, deren $x$-Koordinaten $0$ und $\frac{5}{a}$ sind.

Geben Sie an, welche Schlussfolgerung sich aus I und II für die Anzahl und die Lage der Wendepunkte des Graphen von $g_a$ im Vergleich zu denen des Graphen von $f_a$ ziehen lässt. Begründen Sie Ihre Angabe auf der Grundlage von I und II.

b)

Die Tangente $t_{f_a}$ an den Graphen von $f_a$ im Punkt $\left(\frac{5}{a}\middle| f_a\left(\frac{5}{a}\right)\right)$ hat die Steigung $\frac{1}{a^2}$, die Tangente $t_{g_a}$ an den Graphen von $g_a$ im Punkt $\left(\frac{5}{a}\middle| g_a\left(\frac{5}{a}\right)\right)$ hat die Steigung $\frac{5-3a^2}{5a^2}$.

Den Schnittpunkt der beiden Tangenten nennt man $S_a$.

(1) Weisen Sie nach, dass $S_a$ unabhängig vom Wert von $a$ auf der $y$-Achse liegt.

(2) Die Gerade mit der Gleichung $x=\frac{5}{a}$ schneidet $t_{f_a}$ in $F_a$ und $t_{g_a}$ in $G_a$. Bei keinem Wert von $a$ liegt im Dreieck $S_a G_a F_a$ am Punkt $S_a$ ein rechter Winkel vor. [Ein Nachweis ist nicht erforderlich.]

Untersuchen Sie, für welche Werte von $a \in \mathbb{R}$ mit $a>0$ das Dreieck $S_a G_a F_a$ rechtwinklig ist.

c)

(1) Berechnen Sie in Prozent die maximale Neigung der Piste gegenüber der Horizontalen. [Hinweis: Randwerte brauchen nicht untersucht zu werden.]

%

(3) Untersuchen Sie, in welchen Bereichen das Seil vertikal mindestens $3\text{ m}$ von der Piste entfernt ist.

Ermitteln Sie die Höhendifferenz, um die die beiden Enden des Seils gemeinsam mindestens angehoben werden müssten, damit das Seil an jeder Stelle von der Piste einen vertikalen Abstand von mindestens $3\text{ m}$ hat.

m